Estensione di una regola di calcolo
Sia \( f(x) = e^{-ax} \), \( a > 0 \). Allora la trasformata di Fourier di \( f \) è
\[ F(\xi) = \sqrt{\frac{\pi}{a}} e^{-\frac{\pi^2}{a} \xi^2} \]
Ho trovato nelle dispense della mia docente il calcolo della trasformata di Laplace di \( g(x) = \frac{\cos \sqrt{x}}{\sqrt{x}} \text{sca}\, (x) \), dove \( \text{sca}\, (x) \) è la funzione che vale \( 1 \) per \( x \ge 0 \), \( 0 \) altrimenti.
In questo calcolo viene utilizzata la formula che ho scritto sopra, ponendo \( a = s \in \mathbb{C} \). In particolare:
\[ \mathcal{L}\, [g(x)](s) = \int_0^{+\infty} g(x)e^{-sx}\, \text{d}x = \left [ \dots \right ] = \int_{-\infty}^{+\infty} e^{iw}e^{-sw}\, \text{d}w = \mathcal{F}\, [e^{-sw^2}] \left ( -\frac{1}{2 \pi} \right ) = \sqrt{\frac{\pi}{s}} e^{-\frac{1}{4s}} \]
Ma nella formula c'è scritto chiaramente che \( a > 0 \) (e quindi reale).
Come si spiega?
\[ F(\xi) = \sqrt{\frac{\pi}{a}} e^{-\frac{\pi^2}{a} \xi^2} \]
Ho trovato nelle dispense della mia docente il calcolo della trasformata di Laplace di \( g(x) = \frac{\cos \sqrt{x}}{\sqrt{x}} \text{sca}\, (x) \), dove \( \text{sca}\, (x) \) è la funzione che vale \( 1 \) per \( x \ge 0 \), \( 0 \) altrimenti.
In questo calcolo viene utilizzata la formula che ho scritto sopra, ponendo \( a = s \in \mathbb{C} \). In particolare:
\[ \mathcal{L}\, [g(x)](s) = \int_0^{+\infty} g(x)e^{-sx}\, \text{d}x = \left [ \dots \right ] = \int_{-\infty}^{+\infty} e^{iw}e^{-sw}\, \text{d}w = \mathcal{F}\, [e^{-sw^2}] \left ( -\frac{1}{2 \pi} \right ) = \sqrt{\frac{\pi}{s}} e^{-\frac{1}{4s}} \]
Ma nella formula c'è scritto chiaramente che \( a > 0 \) (e quindi reale).
Come si spiega?
Risposte
Prolungamento analitico? 
Ah. Potresti spiegarmi brevemente come si applica in questo caso?
Sai cosa dice il Principio d'Identità delle Funzioni Analitiche?
Se conosci il teorema, ci vuole pochissimo a capire come applicarlo.
Se conosci il teorema, ci vuole pochissimo a capire come applicarlo.
Infatti non conosco il teorema, quindi farò qualche ricerca. Grazie per le dritte.
Per un enunciato del PIFA, puoi vedere questo mio vecchio post.
Per quel che riguarda la sua applicazione, basta tener presente che l'asse reale è un insieme che ha punti di accumulazione e sul quale le due funzioni, i.e. prolungamento analitico della trasformata di Fourier e trasformata di Laplace calcolata a casaccio, entrambe olomorfe, coincidono.
Per quel che riguarda la sua applicazione, basta tener presente che l'asse reale è un insieme che ha punti di accumulazione e sul quale le due funzioni, i.e. prolungamento analitico della trasformata di Fourier e trasformata di Laplace calcolata a casaccio, entrambe olomorfe, coincidono.
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