Estensione di una funzione uniformemente continua
Salve ragazzi,
il Professore ci ha lasciato per esercizio la dimostrazione di questo Teorema:
Sia $f:E\to RR$ uniformemente continua. Esiste un'unica estensione $\bar{f}:\bar{E}\to RR$ di $f$ che sia uniformemente (?) continua.
Con $\bar{E}$ denoto la chiusura di $E$, cioè $\bar{E}=E\cup "Dr"(E)$.
Riuscirò mai a dimostrare una roba del genere? Mi spiego. Se mi si chiedesse di dimostrare che esiste un'unica estensione continua di $f$ non avrei problemi, ma a trovare un'estensione uniformemente continua proprio non ci riesco
Leggendo qualcosa in rete, mi vien da pensare che l'estensione che posso trovare possa essere solo continua.
Se $E$ fosse limitato il problema non sussisterebbe ($\bar{E}$ è un chiuso, ed essendo anche limitato scatta Heine-Cantor), ma purtroppo questa ipotesi non ce l'ho...
il Professore ci ha lasciato per esercizio la dimostrazione di questo Teorema:
Sia $f:E\to RR$ uniformemente continua. Esiste un'unica estensione $\bar{f}:\bar{E}\to RR$ di $f$ che sia uniformemente (?) continua.
Con $\bar{E}$ denoto la chiusura di $E$, cioè $\bar{E}=E\cup "Dr"(E)$.
Riuscirò mai a dimostrare una roba del genere? Mi spiego. Se mi si chiedesse di dimostrare che esiste un'unica estensione continua di $f$ non avrei problemi, ma a trovare un'estensione uniformemente continua proprio non ci riesco
Leggendo qualcosa in rete, mi vien da pensare che l'estensione che posso trovare possa essere solo continua. Se $E$ fosse limitato il problema non sussisterebbe ($\bar{E}$ è un chiuso, ed essendo anche limitato scatta Heine-Cantor), ma purtroppo questa ipotesi non ce l'ho...
Risposte
Non credo sia molto difficile.
L'estensione da considerare è quella naturale, cioé:
\[
\overline{f} (x) := \begin{cases} f(x) &\text{, se } x\in E \\ \lim_{y\to x} f(y) &\text{, se } x\in \overline{E}\setminus E\end{cases}
\]
Tutto sta a provare che essa è u.c. in \(\overline{E}\), ma ciò non mi pare proibitivo (si tratta di usare con furbizia il fatto che \(E\) è denso in \(\overline{E}\) e che \(f\) è u.c. in \(E\))... Anzi, probabilmente con un po' di sforzo si riesce pure a dimostrare che \(\overline{f}\) ha lo stesso modulo di continuità di \(f\).
L'estensione da considerare è quella naturale, cioé:
\[
\overline{f} (x) := \begin{cases} f(x) &\text{, se } x\in E \\ \lim_{y\to x} f(y) &\text{, se } x\in \overline{E}\setminus E\end{cases}
\]
Tutto sta a provare che essa è u.c. in \(\overline{E}\), ma ciò non mi pare proibitivo (si tratta di usare con furbizia il fatto che \(E\) è denso in \(\overline{E}\) e che \(f\) è u.c. in \(E\))... Anzi, probabilmente con un po' di sforzo si riesce pure a dimostrare che \(\overline{f}\) ha lo stesso modulo di continuità di \(f\).
Forse mi sono perso in un bicchier d'acqua...avevo proceduto così, dimmi cosa ne pensi 
Lemma 1. Sia $f:E\to RR$ uniformemente continua e sia $\{x_n\}\subseteq E$. Allora, se $\{x_n\}$ è di Cauchy, anche $\{f(x_n)\}$ è di Cauchy.
La dimostrazione è abbastanza stupida e la ometto
Poi mi servo di quest'altro fatto:
Lemma 2. Sia $f:E\to RR$ uniformemente continua e sia $\bar{x}\in "Dr"(E)$. Allora $\exists \lim_{x\to\bar{x}}f(x)\in RR$.
Dimostrazione. Poiché $\bar{x}$ è un p.d.a. allora $\exists{x_n}\subseteq E$ tale che $x_n\to \bar{x}$. Quindi $\{x_n\}$ è di Cauchy, e per il Lemma 1 si ha che $\{f(x_n)\}$ è di Cauchy, quindi $\{f(x_n)\}$ è convergente, diciamo ad $\bar{y}\in RR$. Ora si tratta di provare che il valore di $\bar{y}$ non dipende dalla particolare successione $\{x_n\}$ scelta. Sia $\{x'_n\}\subseteq E$ convergente anch'essa a $\bar{x}$ e fissiamo $\epsilon>0$. Poiché $f$ è uniformemente continua,
\[\exists \delta >0:\forall x,y\in E,\ |x-y|<\delta, \text{si ha}\ |f(x)-f(y)|<\varepsilon\]
Poiché $x'_n\to\bar{x}$, si ha $(x_n-x_n')\to 0$, per cui è definitivamente $|x_n-x'_n|<\delta$, e di conseguenza $|f(x_n)-f(x'_n)|<\epsilon$. Passando al limite si ha la tesi.
Dimostrazione del Teorema. Se $"Dr"(E)=\emptyset$ non c'è nulla da dimostrare. Sia dunque $"Dr"(E)\ne \emptyset$ e sia $\bar{x}\in "Dr"(E)$. Poniamo allora
\[\bar{f}(\bar{x}):=\lim_{x\to \bar{x}}f(x)\]
Evidentemente la funzione $\bar{f} $ è continua in $\bar{E}$. L'unicità di $\bar{f}$ è pure abbastanza ovvia.
Ora mi rimaneva da dimostrare che $\bar{f}$ fosse uniformemente continua (d'ora in poi utilizzo il simbolo $f$ anziché $\bar{f}$). Ebbene, per assurdo supponiamo che
\[\exists \varepsilon_0>0:\forall \delta>0,\ \exists x,y\in \overline{E}:\ |x-y|<\delta \wedge |f(x)-f(y)|>\varepsilon_0\tag{1}\]
Sappiamo che $f$ è uniformemente continua in $E$, quindi, in corrispondenza di $\epsilon_0$,
\[\exists \delta_0:\forall x,y\in E,\ |x-y|<\delta_0,\ \text{si ha}\ |f(x)-f(y)|\le \varepsilon_0 \tag{2}\]
Per la $(1)$, in corrispondenza di $\delta=\delta_0/2$,
\[\exists \bar{x},\bar{y}\in \bar{E}:\ |\bar{x}-\bar{y}|<\delta_0/2 \wedge |f(\bar{x})-f(\bar{y})|>\varepsilon_0 \tag{3}\]
Osservo che, in virtù di $(1)$ e $(2)$, almeno uno tra $\bar{x}$ e $\bar{y}$ deve stare in $\bar{E}\setminus E$: sia esso $\bar{x}$; supponiamo invece che $\bar{y}\in E$. Allora $\exists{x_n}\subseteq E$ tale che $x_n\to \bar{x}$, ovvero
\[\forall \lambda>0,\ \text{definitivamente è}\ |x_n-\bar{x}|<\lambda\tag{4} \]
In particolare la $(4)$ vale per $\lambda=\delta_0/2$. Si ha quindi definitivamente
\[|x_n-\bar{y}|\le |x_n-\bar{x}|+|\bar{x}-\bar{y}|<\delta_0/2+\delta_0/2=\delta_0\]
Ma allora, per la $(2)$, si ha definitivamente
\[|f(x_n)-f(\bar{y})|\le \varepsilon_0\]
e passando al limite per $n\to +\infty$ si ottiene (ricordando che $f$ è continua in $\bar{E}\setminus E $)
\[|f(\bar{x})-f(\bar{y})|\le \varepsilon_0\]
ma ciò contraddice la $(3)$.
Penso che smanettando un altro po' con questi simpaticissimi $\delta$-$\epsilon$ (grazie mille Weierstrass
) riuscirò a sistemare anche il caso $\bar{x},\bar{y}\in\bar{E}\setminus E$.
Intanto cosa mi dici di tutto questo? Errori/sciocchezze/inutili-complicazioni?
Grazie Gugo
PS. Il $\le$ nella definizione dell'uniforme continuità ce l'ho messo volutamente per evitare rogne nel resto del ragionamento.
Lemma 1. Sia $f:E\to RR$ uniformemente continua e sia $\{x_n\}\subseteq E$. Allora, se $\{x_n\}$ è di Cauchy, anche $\{f(x_n)\}$ è di Cauchy.
La dimostrazione è abbastanza stupida e la ometto
Poi mi servo di quest'altro fatto:Lemma 2. Sia $f:E\to RR$ uniformemente continua e sia $\bar{x}\in "Dr"(E)$. Allora $\exists \lim_{x\to\bar{x}}f(x)\in RR$.
Dimostrazione. Poiché $\bar{x}$ è un p.d.a. allora $\exists{x_n}\subseteq E$ tale che $x_n\to \bar{x}$. Quindi $\{x_n\}$ è di Cauchy, e per il Lemma 1 si ha che $\{f(x_n)\}$ è di Cauchy, quindi $\{f(x_n)\}$ è convergente, diciamo ad $\bar{y}\in RR$. Ora si tratta di provare che il valore di $\bar{y}$ non dipende dalla particolare successione $\{x_n\}$ scelta. Sia $\{x'_n\}\subseteq E$ convergente anch'essa a $\bar{x}$ e fissiamo $\epsilon>0$. Poiché $f$ è uniformemente continua,
\[\exists \delta >0:\forall x,y\in E,\ |x-y|<\delta, \text{si ha}\ |f(x)-f(y)|<\varepsilon\]
Poiché $x'_n\to\bar{x}$, si ha $(x_n-x_n')\to 0$, per cui è definitivamente $|x_n-x'_n|<\delta$, e di conseguenza $|f(x_n)-f(x'_n)|<\epsilon$. Passando al limite si ha la tesi.
Dimostrazione del Teorema. Se $"Dr"(E)=\emptyset$ non c'è nulla da dimostrare. Sia dunque $"Dr"(E)\ne \emptyset$ e sia $\bar{x}\in "Dr"(E)$. Poniamo allora
\[\bar{f}(\bar{x}):=\lim_{x\to \bar{x}}f(x)\]
Evidentemente la funzione $\bar{f} $ è continua in $\bar{E}$. L'unicità di $\bar{f}$ è pure abbastanza ovvia.
Ora mi rimaneva da dimostrare che $\bar{f}$ fosse uniformemente continua (d'ora in poi utilizzo il simbolo $f$ anziché $\bar{f}$). Ebbene, per assurdo supponiamo che
\[\exists \varepsilon_0>0:\forall \delta>0,\ \exists x,y\in \overline{E}:\ |x-y|<\delta \wedge |f(x)-f(y)|>\varepsilon_0\tag{1}\]
Sappiamo che $f$ è uniformemente continua in $E$, quindi, in corrispondenza di $\epsilon_0$,
\[\exists \delta_0:\forall x,y\in E,\ |x-y|<\delta_0,\ \text{si ha}\ |f(x)-f(y)|\le \varepsilon_0 \tag{2}\]
Per la $(1)$, in corrispondenza di $\delta=\delta_0/2$,
\[\exists \bar{x},\bar{y}\in \bar{E}:\ |\bar{x}-\bar{y}|<\delta_0/2 \wedge |f(\bar{x})-f(\bar{y})|>\varepsilon_0 \tag{3}\]
Osservo che, in virtù di $(1)$ e $(2)$, almeno uno tra $\bar{x}$ e $\bar{y}$ deve stare in $\bar{E}\setminus E$: sia esso $\bar{x}$; supponiamo invece che $\bar{y}\in E$. Allora $\exists{x_n}\subseteq E$ tale che $x_n\to \bar{x}$, ovvero
\[\forall \lambda>0,\ \text{definitivamente è}\ |x_n-\bar{x}|<\lambda\tag{4} \]
In particolare la $(4)$ vale per $\lambda=\delta_0/2$. Si ha quindi definitivamente
\[|x_n-\bar{y}|\le |x_n-\bar{x}|+|\bar{x}-\bar{y}|<\delta_0/2+\delta_0/2=\delta_0\]
Ma allora, per la $(2)$, si ha definitivamente
\[|f(x_n)-f(\bar{y})|\le \varepsilon_0\]
e passando al limite per $n\to +\infty$ si ottiene (ricordando che $f$ è continua in $\bar{E}\setminus E $)
\[|f(\bar{x})-f(\bar{y})|\le \varepsilon_0\]
ma ciò contraddice la $(3)$.
Penso che smanettando un altro po' con questi simpaticissimi $\delta$-$\epsilon$ (grazie mille Weierstrass
) riuscirò a sistemare anche il caso $\bar{x},\bar{y}\in\bar{E}\setminus E$. Intanto cosa mi dici di tutto questo? Errori/sciocchezze/inutili-complicazioni?
Grazie Gugo
PS. Il $\le$ nella definizione dell'uniforme continuità ce l'ho messo volutamente per evitare rogne nel resto del ragionamento.
"Plepp":
Penso che smanettando un altro po' con questi simpaticissimi $\delta$-$\epsilon$ (grazie mille Weierstrass
Oggi ho ripreso la dimostrazione...il caso $\bar{x},\bar{y}\in\bar{E}\setminus E$ è quasi identico a quello che ho già trattato (il "trucco" sta nel prendere $\delta=\delta_0/3$ anziché $delta_0/2$ e considerare, oltre a $\{x_n\}$, una successione $\{y_n\}$ che converge a $\bar{y}$)
In più mi rendo conto che sarebbe stato sufficiente trattare solo quest'ultimo caso...
L'ultima parte mi sembra eccessivamente complicata.
Diciamo che hai i tuoi \(\epsilon\)-\(\delta\) della definizione di unif. cont. su \(E\).
Prendi due punti \(x,y\in\overline{E}\) con \(|x-y|< \delta\).
Per quanto detto prima, puoi trovare due punti \(x', y'\in E\) con \(|x'-y'| < \delta\) e \(|f(x)-f(x')| < \epsilon\), \(|f(y)-f(y')| < \epsilon\).
Di conseguenza
\[
|f(x)- f(y)| \leq |f(x) - f(x')| + |f(x')-f(y')| + |f(y') - f(y)| < 3\epsilon.
\]
Diciamo che hai i tuoi \(\epsilon\)-\(\delta\) della definizione di unif. cont. su \(E\).
Prendi due punti \(x,y\in\overline{E}\) con \(|x-y|< \delta\).
Per quanto detto prima, puoi trovare due punti \(x', y'\in E\) con \(|x'-y'| < \delta\) e \(|f(x)-f(x')| < \epsilon\), \(|f(y)-f(y')| < \epsilon\).
Di conseguenza
\[
|f(x)- f(y)| \leq |f(x) - f(x')| + |f(x')-f(y')| + |f(y') - f(y)| < 3\epsilon.
\]
"Rigel":
L'ultima parte mi sembra eccessivamente complicata.
Diciamo che hai i tuoi \( \epsilon \)-\( \delta \) della definizione di unif. cont. su \( E \).
Prendi due punti \( x,y\in\overline{E} \) con \( |x-y|< \delta \).
Per quanto detto prima, puoi trovare due punti \( x', y'\in E \) con \( |x'-y'| < \delta \) e \( |f(x)-f(x')| < \epsilon \), \( |f(y)-f(y')| < \epsilon \).
Di conseguenza
\[ |f(x)- f(y)| \leq |f(x) - f(x')| + |f(x')-f(y')| + |f(y') - f(y)| < 3\epsilon. \]
In effetti...
così è molto più limpido.Grazie mille Rigel
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