Estensione continua
Sia $f(x) = e^ (-x / (|sen(1/x)|)$
a) Determinare il dominio di f(x)
b) Il più grande insieme E $ sub R$ t. c. f si estende con continuità ad E
c) Calcolare il $lim_(x-> +- infty) f(x)$ se esiste
allora, per quanto riguarda il dominio mi esce che la funzione esiste su tutto R tranne nei punti $x = 1/(k pi)$ con k intero ed $x=0$
Per l'estensione continua, il punto su cui devo verificare se l'ammette o meno è x=0 perché la funzione 1/x ammette una discontinuità proprio in quel punto, giusto? Allora ho scritto questo:
Sia
$ g(x) = { ( f(x); x in Dom(f)),( alpha ; x=0 ):} $
quindi devo dimostrare che esiste questo alpha che mi rende g(x) continua, e perciò quello che devo verificare è limite destro e sinistro della f(x) in 0, giusto o sbaglio qualcosa?
a) Determinare il dominio di f(x)
b) Il più grande insieme E $ sub R$ t. c. f si estende con continuità ad E
c) Calcolare il $lim_(x-> +- infty) f(x)$ se esiste
allora, per quanto riguarda il dominio mi esce che la funzione esiste su tutto R tranne nei punti $x = 1/(k pi)$ con k intero ed $x=0$
Per l'estensione continua, il punto su cui devo verificare se l'ammette o meno è x=0 perché la funzione 1/x ammette una discontinuità proprio in quel punto, giusto? Allora ho scritto questo:
Sia
$ g(x) = { ( f(x); x in Dom(f)),( alpha ; x=0 ):} $
quindi devo dimostrare che esiste questo alpha che mi rende g(x) continua, e perciò quello che devo verificare è limite destro e sinistro della f(x) in 0, giusto o sbaglio qualcosa?
Risposte
Ciao,
Il dominio è ok.
Se vuoi estendere con continuità quella funzione in un punto $x_0 \in RR - dom(f)$ deve accadere che:
1. $x_0$ è di accumulazione per il dominio (devi poterci fare il limite)
2. Esiste finito il limite $\lim_{x \to x_0} f(x)$
Se questo è verificato allora, mettiamo che il limite faccia $\alpha_0$ poni $f(x_0) = \alpha_0$.
Alla luce di ciò, rivedi un po’ quello che scrivi.
Il dominio è ok.
Se vuoi estendere con continuità quella funzione in un punto $x_0 \in RR - dom(f)$ deve accadere che:
1. $x_0$ è di accumulazione per il dominio (devi poterci fare il limite)
2. Esiste finito il limite $\lim_{x \to x_0} f(x)$
Se questo è verificato allora, mettiamo che il limite faccia $\alpha_0$ poni $f(x_0) = \alpha_0$.
Alla luce di ciò, rivedi un po’ quello che scrivi.
Eh ma esempio nel mio caso devo vedere se si può estendere con continuità in 0, ok? Da qui non devo fare il limite destro e sinistro della funzione, quindi per x -> $0^(+-)$ e da qui se ottengo due limiti finiti dello stesso valore posso estenderla con continuità?
Certo, ma perché solo $0$?
ah giustamente nei punti dove non è definita nel dominio, errore mio.
Per esempio però in 0, a meno che non ho sbagliato i conti mi vengono limiti finiti ed uguali..
Per esempio però in 0, a meno che non ho sbagliato i conti mi vengono limiti finiti ed uguali..
Devi provare a vedere se il discorso che stai facendo funziona in $0$ e in $1/(k\pi)$ con $k \in ZZ_0$ perché sono tutti punti di accumulazione del dominio che non gli appartengono.
Per $0$ cosa ti viene?
E gli altri?
Per $0$ cosa ti viene?
E gli altri?
Per 0 mi vengono entrambi i limiti = 1 (non so se ho sbagliato qualcosa però)
gli altri devo ancora provare
gli altri devo ancora provare
"daenerys":
Per 0 mi vengono entrambi i limiti = 1
"daenerys":
gli altri devo ancora provare
Attendiamo!
Ok, quindi in 0 posso estenderla per continuità, gli altri due limiti (se non ho sbagliato) mi vengono per $x->(1/(k pi))^(+)$ = 0 e l'altro per $x->(1/(k pi))^(-)$ = $+infty$
Ciao,
certo in $0$ puoi farlo senza problemi.
Gli altri limiti non sono corretti, e in ogni caso dipendono dal segno di $k$, prova un po' a controllare...
certo in $0$ puoi farlo senza problemi.
Gli altri limiti non sono corretti, e in ogni caso dipendono dal segno di $k$, prova un po' a controllare...
Mh non riesco a trovare dove sbaglio negli altri
Per esempio per $k=2$ hai che $-x \to -1/(2\pi)$ e $|\sin(1/x)| \to 0^+$.
Quindi il limite del rapporto esiste ed è $- \infty$, quindi...
Quindi il limite del rapporto esiste ed è $- \infty$, quindi...
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