Estensione continua

[4mrkv]

Let \(H\) be a Hilbert space. By an operator in \(H\) we shall now mean a linear mapping \(T\) whose domain \(\mathcal{D}(T)\) is a subspace of \(H\) and whose range \(\mathcal{R}(T)\) lies in \(H\). Is is not assumed that \(T\) is bounded or continuous. Of course, if \(T\) is continuous [relative to the norm topology that \(\mathcal{D}(T)\) inherits from \(H\)] then \(T\) has a continuous extension to the closure of \(\mathcal{D}(T)\), hence to \(H\), since \(\mathcal{D}(T)^{-}\) is complemented in \(H\).

Non riesco a seguire il discorso. Non mi basta citare Hahn-Banach per estendere \(T\) in \(H\)? L'ultima frase significa \(\mathcal{D}(T)^{-}=H\)?

[Paolo902]

1. Hahn Banach serve per estendere funzionali, quindi operatori a valori nel campo;
2. Il discorso (Rudin?) va più o meno così: se hai un operatore continuo su un sottospazio $D(T)$ allora lo puoi estendere in modo continuo - per densità - a \( \overline{D(T)} \). Ora prendi il supplementare di quest'ultimo, considera cioè \( \overline{D(T)}^{\perp}\) e una qualunque applicazione lineare limitata \( A: \overline{D(T)}^{\perp} \to H \).
A questo punto basta osservare che \( H =\overline{D(T)} \oplus \overline{D(T)}^{\perp}\) e definisci quindi $T^{\prime}(x)=T^{\prime}(x_1+x_2) = T(x_1)+A(x_2)$ che ti dà l'estensione desiderata.

[4mrkv]

Si, hai ragione. Me ne sono proprio scordato. Stavo usando Hahn-Banach per la parte sull'autoaggiunzione nella pagina seguente, Cap 13. Grazie, ora è chiaro.

[Paolo902]

Prego, figurati.