Estensione con continuità

[bugger]

Ciao a tutti,
mi potreste spiegare come svolgere questo tipo di esercizi?
Determinare per quali valori del parametro $a\in R$ la funzione

$ { ( \frac{log(1+sinx)}{ax} \mbox{ per }x\mbox{ >0} ),( \frac{1-cosx}{x^2}\mbox{ per }x\mbox{ <0} ):} $

puo essere estesa con continuità in x=0.

[Noisemaker]

be osserva subito che, grazie al limite notevole del coseno, quella funzione puoi scriverla come

\[f(x)=\begin{cases}\frac{\ln (1+\sin x)}{ax},&\mbox{se} \,\,\,x>0\\\\
\frac{1-\cos x}{x^2},&\mbox{se}\,\,\, x\le0\end{cases}\]

[bugger]

Si ma non ho capito come svolgerli in generale

[Noisemaker]

la funzione risuta ovvimante non definita in $x=0,$ in quanto i denominatori si annullano; allora per verdere se è prolungabile per continuità in $x=0$ devi fare i limiti a destra e a sinistra per $x\to$ : poichè hai

\begin{align}
\lim_{x\to 0^-} \frac{1-\cos x}{x^2} =\frac{1}{2}\\
\end{align}

devi trovare i valori di $a$ per cui
\begin{align}
\lim_{x\to 0^+}\frac{\ln (1+\sin x)}{ax} =\frac{1}{2}
\end{align}

[bugger]

ok. grazie mille