Esrcizio sulle valutazioni asintotiche di funzioni derivabil

[*brssfn76]

Salve a tutti! purtroppo avrei bisogno di una spiegazione su un passagio
di un esercizio...

Data una funzione del tipo $f(x):= x(sinh(x) - sin(x) - x^3/3)$
si richiede se ha nel punto 0 un massimo od un minimo locale.

Sviluppando le serie delle 2 funzioni si ottiene:
$x(sum_(n=0)^(+\infty) ((x^(2n+1))/((2n+1)!)) - sum_(n=0)^(+\infty) ((-1)^n (x^(2n+1))/((2n+1)!)) - (x^3)/3 )$

quindi il primo passaggio che non capisco:

$= x(sum_(n=0)^(+\infty) 2 (x^(2(2n+1)+1)) / ((2(2n+1)+1)!)) - (x^3) / 3 )$

quale proprietà consente di "incapsulare" le 2 serie in una?
... o meglio mi aspettavo che le 2 serie si sommassero in modo diverso......

$= sum_(n=0)^(+\infty) 2 ( x^(4(n+1)) / ((4n+3)!)) - x^4 / 3$circa $ (2 x^8 )/ (7!)$

come si arriva ad avere 7 fattoriale?

grazie in anticipo

[MaMo2]

"brssfn76":
....
quindi il primo passaggio che non capisco:

$= x(sum_(n=0)^(+\infty) 2 (x^(2(2n+1)+1)) / ((2(2n+1)+1)!)) - (x^3) / 3 )$

quale proprietà consente di "incapsulare" le 2 serie in una?
... o meglio mi aspettavo che le 2 serie si sommassero in modo diverso......

Questo passaggio si ottiene sommando le due serie e notando che $1 - (-1)^n$ è 0 se n è pari mentre è 2 se n è dispari.
Per cui ha sostituito ad n l'espressione 2n + 1.

$= sum_(n=0)^(+\infty) 2 ( x^(4(n+1)) / ((4n+3)!)) - x^4 / 3$circa $ (2 x^8 )/ (7!)$

come si arriva ad avere 7 fattoriale?

grazie in anticipo

Qui ha semplicemente sviluppato la serie. Si ottiene:

$2x^4/(3!)+2x^8/(7!)+.....-x^4/3=(2x^8)/(7!)+....$.