Espressioni simboliche incomprensibili (per me)

[dissonance]

E' un'ora che cerco di capire un passaggio di Real and complex analysis: siano $z, w\inCC$, consideriamo
$(z^n-w^n)/(z-w)-nw^(n-1)$. Per $n>=2$, secondo lui questa è uguale a $(z-w)sum_{k=1}^{n-1}kw^(k-1)z^(n-k-1)$. E come %#! ha fatto?

[Studente Anonimo]

Credo che la questione si sintetizzi in una parola: Ruffini

Per esempio poni $x=z/w$. Allora hai $(x^n-1)/(x-1)-n$, che effettivamente ammette $x=1$ come radice. Allora applicando l'algoritmo di Ruffini (con la solita tabellina) ottieni la fattorizzazione voluta.

[gugo82]

Infatti $x^n-1=(x-1)*\sum_(k=0)^(n-1)x^k$, quindi la funzione razionale $f(x):=(x^n-1)/(x-1)$ ha in $1$ una singolarità eliminabile giacché $\lim_(x\to 1) (x^n-1)/(x-1)= \sum_(k=0)^(n-1)1^k=n$; ne viene che $f(1)-n=0$, come diceva Martino.
Per quanto riguarda Ruffini, non ho fatto i conti, ma credo convenga scrivere $f(x)-n=(1-n)+\sum_(k=1)^(n-1)x^k$...


Dopo 5 minuti per ricordare l'algoritmo (che non applico da tipo 10 anni): sì conviene scrivere come somma e già la prima divisione porta al risultato.

[dissonance]

Sì, chiaramente non ci avevo pensato. Il guaio è che facendo la divisione $x^n-1//x-1$ arrivo alla forma $sum_{i=1}^(n-1)z^iw^(n-i-1)-n$. E adesso da dove lo faccio saltare fuori $z-w$?

[edit]Invece portando la $n$ nella frazione, quindi da $(x^n-nx+(n-1))/(x-1)$, arrivo a $x^(n-1)+...+x+(1-n)$ che mi ispira meno, francamente.
[riedit] il messaggio è riferito a Martino. Il risultato dell'ultimo edit è lo stesso di quello ottenuto da Gugo, il che almeno significa che non ho sbagliato; però ancora non vedo da dove fare uscire $z-w$ purtroppo.

[gugo82]

Allora, vediamo...

Hai:

(1) $\quad (z^n-w^n)/(z-w)-nw^(n-1)=w^(n-1)*\{ ((z/w)^n-1)/(z/w-1)-n\}$;

nel secondo fattore poni $x=z/w$ e lo porti nella forma suggerita da Martino $(x^n-1)/(x-1)-n$, poi applichi i risultati che ho detto in precedenza e trovi:

(2) $\quad (x^n-1)/(x-1)-n=-(n-1)+\sum_(k=1)^(n-1)x^k$.

Per quanto ho detto prima, $1$ è uno zero del secondo membro; dividendo il secondo membro di (2) per $x-1$ (qui applichi Ruffini) trovi, $-(n-1)+\sum_(k=1)^(n-1)x^k=(x-1)*\sum_(k=1)^(n-1)kx^(n-1-k)$, cosicché:

(3) $\quad (x^n-1)/(x-1)-n=(x-1)*\sum_(k=1)^(n-1)kx^(n-1-k)$;

sostituendo (3) in (1) e ricordando che $x=z/w$ trovi infine:

(4) $\quad (z^n-w^n)/(z-w)-nw^(n-1)=w^(n-1)*(z/w-1)*\sum_(k=1)^(n-1)k(z/w)^(n-1-k)=(z-w)*\sum_(k=1)^(n-1)kz^(n-1-k)w^(k-1)$

che è il risultato.

Ad ogni modo: perchè studi Analisi Complessa dal Rudin? Ci sono libri italiani più semplici.

[adaBTTLS1]

io mi sono divertita a fare un po' di conti, e l'uguaglianza l'ho verificata in maniera diretta. ti posto i risultati:

$z^n-w^n=(z-w)(z^(n-1)+z^(n-2)w+ ... +zw^(n-2)+w^(n-1))$

$(z^n-w^n)/(z-w) - nw^(n-1)=z^(n-1)+z^(n-2)w+ ... +zw^(n-2)+(1-n)w^(n-1)$

$(z-w)\sum_(k=1)^(n-1)\kw^(k-1)z^(n-k-1)=(z-w)*(z^(n-2)+2wz^(n-3)+3w^2z^(n-4)+ ... +(n-2)w^(n-3)z+(n-1)w^(n-2))=$

$=z^(n-1)+2wz^(n-2)+3w^2z^(n-3)+ ... +(n-2)w^(n-3)z^2+(n-1)w^(n-2)z - wz^(n-2)-2w^2z^(n-3)-3w^3z^(n-4)- ... -(n-2)w^(n-2)z-(n-1)w^(n-1)=$

$=z^(n-1)+(2-1)wz^(n-2)+(3-2)w^2z^(n-3)+ ... +[(n-1)-(n-2)]w^(n-2)z-(n-1)w^(n-1)=z^(n-1)+wz^(n-2)+w^2z^(n-3)+ ... +w^(n-2)z+(1-n)w^(n-1)$

dunque le due espressioni sono identiche.
non so se ho ripetuto in maniera "pedestre" cose già dette, ma spero di essere stata utile. ciao.

[gugo82]

Quanti conti... complimenti per la pazienza!

Devo dire la verità, io appena ho visto la relazione ho pensato ad una dimostrazione per induzione; poi fortunatamente il post di Martino mi ha fatto cambiare idea.

[Studente Anonimo]

Wow, la mia idea ha avuto successo

[dissonance]

Infatti me la sono appuntata sotto il nome di procedimento di Gugo-Martino.
Suona proprio bene.

P.S.: Grazie mille per l'aiuto! Mi ero bloccato di brutto.