Espressione ricorsiva

[curie88]

Buon giorno a tutti,

Se si vuole scrivere per esempio un espressione ricorsiva del tipo:

$x = (\sqrt(a+\sqrt(a+\sqrt(a...))))$

esiste un metodo più compatto per farlo?

La formula compatta se c' è, ha delle proprietà?

[theras]

Sembra essere il termine generale della successione definita per ricorrenza che,partendo dalla condizione iniziale $"x"_"0""="sqrt("a")$,prosegue ponendo $"x"_"n+1""="sqrt("a+x"_"n")" "AA"n"in NN$:
per eventuali proprietà dipende invece da cosa cerchi..
Saluti dal web

[curie88]

Grazie per la risposta, cercavo qualcosa come la sommatoria.
Una "funzione" $Rpt$, cioè ripeti, definita grossomodo, cosi':

$Rpt(sqrt(i,+))_(i=1)^(n=4) = sqrt(1+sqrt(2+sqrt(3+sqrt(4))))$

Tende ad una costante se $n = \infty$...

[gugo82]

Fermo restando che ognuno è libero di definire funzioni come più gli aggrada, basta che esse servano a qualcosa, quello che proponi è abbastanza inutile per le ragioni già citate da theras.
Infatti, tutte le proprietà di una successione definita per ricorrenza si possono stabilire (con maggiori o minori difficoltà) usando l'equazione ricorrente che i suoi termini soddisfano.

Potrebbe esserti utile dimostrare che la successione definita da theras è strettamente crescente e limitata, cosicché essa converge ed ha limite uguale a $\frac{1+\sqrt{1+4a}}{2}$ (fatta l'ipotesi $a>0$, per non banalizzare il problema).

Dunque, $x=\frac{1+\sqrt{1+4a}}{2}$ anche senza introdurre funzioni strampalate.

***

Anzi...

Esercizio:

Provare che, comunque si scelgano $a>0$ ed $\alpha \geq -a$, la successione definita per ricorrenza ponendo:
\[
\begin{cases}
x_{n+1} = \sqrt{ a+x_n}\\
x_1 =\alpha
\end{cases}
\]
è limitata e monotona (strettamente crescente se $\alpha < \frac{1+\sqrt{1+4a}}{2}$, costante se $\alpha =\frac{1+\sqrt{1+4a}}{2}$, strettamente decrescente se $\alpha >\frac{1+\sqrt{1+4a}}{2}$) nonché che essa converge sempre verso il numero:
\[x=\frac{1+\sqrt{1+4a}}{2}\; .\]