Espressione maledetta...vogliamo vederla cm altra sfida mat?

[zipangulu]

data la seguente espressione
$2^x+2x-4=0$
analiticamente e sottolineo soltanto analiticamente,senza utilizzare il metodo grafico,cm si risolve???
è un pomeriggio intero che ci penso...gioco cn logaritmi ed esponenziali ma nn concludo nnt...ci riuscite voi e mi date una spiegazione???
Ps so che il risultato è 1...ma a me serve capire il procedimento non la soluzione...grazie 1000!

[ViciousGoblin]

"zipangulu":data la seguente espressione
$2^x+2x-4=0$
analiticamente e sottolineo soltanto analiticamente,senza utilizzare il metodo grafico,cm si risolve???
è un pomeriggio intero che ci penso...gioco cn logaritmi ed esponenziali ma nn concludo nnt...ci riuscite voi e mi date una spiegazione???
Ps so che il risultato è 1...ma a me serve capire il procedimento non la soluzione...grazie 1000!

Non capisco perche' il "metodo grafico" opportunamente formalizzato vada escluso...come se non fosse analitico.

Mi spiego: non dico che basti tracciare un disegno, ma se si chiariscono tutti i passaggi che si sottintendono quando si traccia il grafico tutto diventa rigoroso.

Nel caso in esame, facendo lo studio della funzione $f(x)=2^x+2x-4$ trovi che
1) $f(1)=0$
2) $f'(x)=\ln(2) 2^x+2$ che e' positiva per ogni $x$

dunque $f(1)=0$, $f(x)<0$ se $x<1$, $f(x)>0$ se $x>1$ ERGO $x=1$ e' l'unica soluzione.

Viceversa NON ci sono formule o passaggi algebrici generali che permettano di risolvere, in generale un'equazione come quella - se avessi avuto $2^x+2x-3=0$, usando la stessa tecnica
avresti potuto dire che c'e' una e una sola soluzione (per la monotonia della funzione), che tale soluzione e' tra zero e uno , ma non indicarla esplcitamente (in termine di funzioni elementari)

[Knuckles1]

forse, e ripeto forse, il teorema cosiddetto del dini dovrebbe esserti d'aiuto...

[ViciousGoblin]

"Knuckles":forse, e ripeto forse, il teorema cosiddetto del dini dovrebbe esserti d'aiuto...

In una variabile il teorema del Dini dice sostanzialmente che se $f(x_0)=0$ e $f'(x_0)\ne0$ allora esiste un intorno $U$ di $x_0$ tale che $x_0$ e' l'unica soluzione
in $U$ dell'equazione $f(x)=0$ (ovviamente questo e' molto semplice da dimostrare).
Credo che il problema originario chiedesse di vedere che $1$ e' l'unica soluzione per cui e' necessario studiare "globalmente" la funzione (che era $f(x)=2^x+2x-4$)

Comunque il punto di vista e' corretto: si tratta di caratterizzare la controimmagine di un punto tramite una funzione . il teorema del Dini da' una risposta locale (che in una variabile
e' un po' banale)