Espressione esplicita funzione

[Gol_D_Roger]

Salve potreste gentilmente aiutarmi con questo esercizio:


Determinare l'espressione esplicita della funzione

con $ max(e^x-2,e^-x) $

Quello che ho fatto è di scrivere $ h(x)=e^x-2-e^-x $ . Da qui ho impostato:

Se $ h(x)> 0 , e^x-2>= e^x $
Se $ h(x)< 0 , e^x>= e^x-2 $

Poi ho studiato la derivata prima che viene : $ h'(x)= e^x+e^x $ . Quindi $ f $ è crescente in $ R $ .

Poi ho visto cosa succedeva in zero , $ f(0)=2 $ .

Da qui non so cosa fare. Potreste gentilmente aiutarmi? Grazie mille in anticipo!!!

[anto_zoolander]

nel tuo svolgimento consideri prima $e^(-x)$ e poi la cambi in $e^x$

comunque,
il massimo è definito così:

$max{f(x),g(x)}=(f(x)+g(x))/2+|f(x)-g(x)|/2$

in particolare possiamo fare questa consdiderazione. $f(x),g(x)$ rappresenta la distanza dell'ordinata dall'asse delle ascisse. Il massimo tra le due funzioni, indica il massimo punto punto. Cioè il valore della funzione $max$ equivale alla 'massima ordinata' tra le due.

dove $|f(x)+g(x)|/2$ rappresenta il punto medio tra le due funzioni in ogni punto

e $|f(x)-g(x)|/2$ rappresenta il raggio in ogni punto.

$max{e^x-2,e^(-x)}=|e^(x)-2+e^(-x)|/2+|e^x-2-e^(-x)|/2$

o sennò poi semplicemente studiare, come avevi fatto ma ti sei fermato, la disequazione:

$e^x-2geqe^(-x)$ moltiplico per $e^x$ ottenendo $(e^x)^2-2e^xgeq1$

pongo $e^x=u$ ottenendo $u^2-2u-1geq0$

risolvendo l'eq. associata: $u=1pmsqrt2=> e^x=1pmsqrt2$
possiamo prendere solo il valore $e^x=1+sqrt2=>x=ln(1+sqrt2)$

dunque ${(max{e^x-2,e^(-x)}=e^x-2 ifxgeqln(1+sqrt2)),(max{e^x-2,e^(-2)}=e^(-x)ifx

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[.Ruben.17]

"anto_zoolander":nel tuo svolgimento consideri prima $e^(-x)$ e poi la cambi in $e^x$

comunque,
il massimo è definito così:

$max{f(x),g(x)}=|f(x)+g(x)|/2+|f(x)-g(x)|/2$

l'espressione mi suonava strana, così ho trovato un controesempio

Sia $f(x) = x^2$
$g(x) = - x^3$

e sia $x > 1 $

in questo caso il massimo è $x^2$
poichè $x^3 + x^2 > 0$ per $x > 0$

Andando a calcolare il massimo con la formula da te proposta si avrebbe:
$max(x^2, -x^3) = (|x^2 - x^3| + |x^2 + x^3|)/2$

Poichè x>1, l'argomento del primo modulo è negativo, mentre l'argomento del secondo è positivo, per cui sarebbe:
$max(x^2, -x^3) = (-x^2 + x^3 + x^2 + x^3)/2 = x^3$
che è effettivamente più grande di entrambe ma non è una delle due funzioni..

La formula giusta(dovrebbe ovviare a questo problema ma non l'ho sottoposta ancora ad ulteriori controlli) dovrebbe essere:
$max{f(x),g(x)}=(f(x)+g(x))/2+|f(x)-g(x)|/2$

[anto_zoolander]

Si hai ragione, non so a cosa pensassi. Grazie per avermelo fatto notare lo cambio.

Anche perché sia $I=[a,b]$ il centro è $c=(a+b)/2$ semplicemente la semi-somma.
Ogni tanto mi attacca la malattia

[Gol_D_Roger]

Grazie mille!!!