Espressione esplicita di una funzione integrale
Salve a tutti. Mi trovo a dover fornire l'espressione esplicita di questa funzione integrale:
$F(X)=int_0^x\frac{|t-1|}{(t-2)(t+1)}dt$
Ad un certo punto mi sono incartato:
la funzione integrale è definita nel più grande intervallo di continuità della funzione integranda contenente il punto 0, quindi
$D_F=(-1,2)$
Ora, la funzione integranda cambia espressione nel punto 1, quindi devo calcolare due integrali diversi: uno nell'intervallo in cui il modulo è positivo e un altro nell'intervallo in cui il modulo è negativo, cioè:
$int_{-1}^x\frac{1-t}{(t-1)(t+1)}dt$
e
$int_{1}^x\frac{t-1}{(t-1)(t+1)}dt$
dico bene? O c'è un altro caso da valutare che mi sto dimenticando?
Il mio dubbio grosso qui sono gli estremi degli integrali che devo andare a calcolare. Se ho ben capito devo tenere "fisso" il punto in cui la funzione cambia espressione, l'altro estremo, che è variabile, sostanzialmente decide che segno ha l'integrale.
Il fatto è che così mi sembra di andare a calcolare un integrale diverso da quello richiesto, sbaglio?
$F(X)=int_0^x\frac{|t-1|}{(t-2)(t+1)}dt$
Ad un certo punto mi sono incartato:
la funzione integrale è definita nel più grande intervallo di continuità della funzione integranda contenente il punto 0, quindi
$D_F=(-1,2)$
Ora, la funzione integranda cambia espressione nel punto 1, quindi devo calcolare due integrali diversi: uno nell'intervallo in cui il modulo è positivo e un altro nell'intervallo in cui il modulo è negativo, cioè:
$int_{-1}^x\frac{1-t}{(t-1)(t+1)}dt$
e
$int_{1}^x\frac{t-1}{(t-1)(t+1)}dt$
dico bene? O c'è un altro caso da valutare che mi sto dimenticando?
Il mio dubbio grosso qui sono gli estremi degli integrali che devo andare a calcolare. Se ho ben capito devo tenere "fisso" il punto in cui la funzione cambia espressione, l'altro estremo, che è variabile, sostanzialmente decide che segno ha l'integrale.
Il fatto è che così mi sembra di andare a calcolare un integrale diverso da quello richiesto, sbaglio?
Risposte
mi sa che non hai scritto molto bene quell'integrale... di che modulo parli??? ^_^
Hai perfettamente ragione, mi ero dimenticato il modulo. Ho appena modificato il messaggio
Dovresti vedere che:
se $0<=x<1$:
$\int_0^x (1-t)/((t-2)(t+1))dt$
se $1<=x<2$:
$\int_0^x |t-1|/((t-2)(t+1))dt =\int_0^1 (1-t)/((t-2)(t+1))dt +\int_1^x (t-1)/((t-2)(t+1))dt$
se $2<=x$:
$\int_0^x |t-1|/((t-2)(t+1))dt =\int_0^1 (1-t)/((t-2)(t+1))dt +\int_1^2 (t-1)/((t-2)(t+1))dt +\int_2^x (t-1)/((t-2)(t+1))dt$
se $0<=x<1$:
$\int_0^x (1-t)/((t-2)(t+1))dt$
se $1<=x<2$:
$\int_0^x |t-1|/((t-2)(t+1))dt =\int_0^1 (1-t)/((t-2)(t+1))dt +\int_1^x (t-1)/((t-2)(t+1))dt$
se $2<=x$:
$\int_0^x |t-1|/((t-2)(t+1))dt =\int_0^1 (1-t)/((t-2)(t+1))dt +\int_1^2 (t-1)/((t-2)(t+1))dt +\int_2^x (t-1)/((t-2)(t+1))dt$
Scusa, ma ci sono delle cose che non mi sono troppo chiare: la funzione è definita solo in (-1,2), perché non consideri il caso $-1<=x<=0$ ? Inoltre, la funzione oltre 2 non esiste, quindi anche l'integrale esteso da 2 a x (l'ultimo) non mi è troppo chiaro
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