Espressione con o-piccolo

[tetravalenza]

Ciao, su un libro di analisi ho trovato la seguente espressione
\[
\sin x - x= o(x^2)
\]

per $x\rightarrow 0^+$ utilizzata per spiegare il simbolo o-piccolo ma non verificata. Per cui ho provato a farlo io applicando la definizione ma non riesco a giungere al risultato. Ho svolto le seguenti operazioni
\[
\frac{sin x - x}{x^2}=\frac{sin x}{x^2}-\frac{x}{x^2}=\frac{1}{x}(\frac{sin x}{x}-1)
\]

il secondo fattore tende a 0 mentre il primo a più infinito. Non so come risolvere l'indecisione. Sapreste aiutarmi?

[BayMax1]

Ciao @tetravalenza !

Io andrei di de l'Hopital .

$lim_(x -> 0^+) (sinx-x)/x^2=lim_(x -> 0^+) (cosx-1)/(2x)=lim_(x -> 0^+)-(1-cosx)/x*1/2$. Ora $lim_(x -> 0^+)(1-cosx)/x=0$ è un limite notevole e, dunque, il risultato è $lim_(x -> 0^+) (sinx-x)/x^2=0$, come volevamo dimostrare.

Spero sia tutto corretto e di averti aiutato.

Saluti

BayMax

[Sk_Anonymous]

Ciao.

Puoi anche usare lo sviluppo di Ms Laurin di sinx:

$\sin x - x = x - \frac{x^3}{3!} + o'(x^3) - x = - \frac{x^3}{3!} + o'(x^3) = o(x^2)$.

[tetravalenza]

"BayMax":
Spero sia tutto corretto e di averti aiutato.

Saluti

BayMax

Perfetto, grazie