Esponenziali complessi
perché quando risolvo l'equazione omogenea e trovo come radici due esponenziali complessi coniugati, il libro poi li fa apparire come e^(ax)[c_1 cos(bx) + c_2 sin(bx)] nell'integrale generale. Cioè, ok che un esponenziale complesso posso definirlo come un esponenziale reale che moltiplica un coseno e un seno, ma il numero immaginario i dove se ne va?!?!??!
cioè se ho k_1 e^(a+bi)x + k_2 e^(a-bi)x come faccio ad arrivare a e^(ax)[c_1 cos(bx) + c_2 sin(bx)] facendo sparire la i? mica la posso inglobare nella nuova costante arbitraria c_2!!!!!!!! o posso?
cioè se ho k_1 e^(a+bi)x + k_2 e^(a-bi)x come faccio ad arrivare a e^(ax)[c_1 cos(bx) + c_2 sin(bx)] facendo sparire la i? mica la posso inglobare nella nuova costante arbitraria c_2!!!!!!!! o posso?
Risposte
Innanzitutto benvenuto. Se possibile cerca di usare la notazione matematica disponibile sul forum perchè il tuo post è di difficile lettura.
Il fatto è che l'integrale generale è uno spazio vettoriale. Le due funzioni complesse che tu trovi sono gli elementi di una base di questo spazio ma non è ovviamente l'unica. Se fai opportune somme algebriche dei due puoi scrivere due funzioni reali indipendenti che generano lo stesso spazio. Il "trucco" è che l'unità immaginaria la fai sparire dentro i coefficienti della combinazione lineare che ti definisce le nuove funzioni (reali) a partire da quelle vecchie (complesse).
Se non sono stato chiaro qui: http://www.dm.unipi.it/~acquistp/ana1.pdf è spiegato egregiamente (pag 388 e 389).
Il fatto è che l'integrale generale è uno spazio vettoriale. Le due funzioni complesse che tu trovi sono gli elementi di una base di questo spazio ma non è ovviamente l'unica. Se fai opportune somme algebriche dei due puoi scrivere due funzioni reali indipendenti che generano lo stesso spazio. Il "trucco" è che l'unità immaginaria la fai sparire dentro i coefficienti della combinazione lineare che ti definisce le nuove funzioni (reali) a partire da quelle vecchie (complesse).
Se non sono stato chiaro qui: http://www.dm.unipi.it/~acquistp/ana1.pdf è spiegato egregiamente (pag 388 e 389).
quale notazione matematica? come si usa? cmq ho scritto in latex... niente di particolarmente difficile mi pare...
cmq lui dice c1'=i(c2-c1) mi pare.... quindi perché c1' dovrebbe essere reale????
cmq lui dice c1'=i(c2-c1) mi pare.... quindi perché c1' dovrebbe essere reale????
Sì le formule sono corrette ma devi scriverle tra due simboli di dollaro, così:
E' reale perchè la i sparisce. Controlla, è banale, non so come dirlo più semplicemente.
"gurghet":
perché quando risolvo l'equazione omogenea e trovo come radici due esponenziali complessi coniugati, il libro poi li fa apparire come $e^(ax)[c_1 cos(bx) + c_2 sin(bx)]$ nell'integrale generale. Cioè, ok che un esponenziale complesso posso definirlo come un esponenziale reale che moltiplica un coseno e un seno, ma il numero immaginario i dove se ne va?!?!??!
cioè se ho $k_1 e^(a+bi)x + k_2 e^(a-bi)x$ come faccio ad arrivare a $e^(ax)[c_1 cos(bx) + c_2 sin(bx)]$ facendo sparire la i? mica la posso inglobare nella nuova costante arbitraria $c_2$!!!!!!!! o posso?
E' reale perchè la i sparisce. Controlla, è banale, non so come dirlo più semplicemente.
guarda che io non vedo nulla... non è che sarà la peculiarità di qualche browser?? Io utilizzo safari e nel tuo post dove mi hai citato vedo delle lettere alla rinfusa al posto delle formule matematiche.
Comunque non vedo perché dovrebbe sparire, davvero non capisco. cioè, i(c1-c2) è un numero complesso, anzi immaginario dato che è un numero reale (c1-c2) moltiplicato per l'unità immaginaria. Come fa a sparire la i? cioè si posso dire c1'=i(c1-c2) ma c1' è di nuovo complesso
Comunque non vedo perché dovrebbe sparire, davvero non capisco. cioè, i(c1-c2) è un numero complesso, anzi immaginario dato che è un numero reale (c1-c2) moltiplicato per l'unità immaginaria. Come fa a sparire la i? cioè si posso dire c1'=i(c1-c2) ma c1' è di nuovo complesso
Ad esempio se poni
$c_1 = alpha+ i*beta$ e $ c_2 = alpha-i*beta $ con $alpha , beta in RR $ottieni :
$c'_1 = c_1+c_2 = 2 alpha $ ; $c'_2= i*(c_1-c_2) = -2 beta $ .
$c_1 = alpha+ i*beta$ e $ c_2 = alpha-i*beta $ con $alpha , beta in RR $ottieni :
$c'_1 = c_1+c_2 = 2 alpha $ ; $c'_2= i*(c_1-c_2) = -2 beta $ .
"Camillo":
Ad esempio se poni
$c_1 = alpha+ i*beta$ e $ c_2 = alpha-i*beta $ con $alpha , beta in RR $ottieni :
$c'_1 = c_1+c_2 = 2 alpha $ ; $c'_2= i*(c_1-c_2) = -2 beta $ .
ah ok grazie! ma per quale motivo c1 dovrebbe essere il coniugato di c2?
"gurghet":
ah ok grazie! ma per quale motivo c1 dovrebbe essere il coniugato di c2?
Lo scegli tu così.
Cmq SAFARI????? non hai niente di meglio? almeno iexplore... io safari lo uso solo in biblioteca centrale della facoltà dove ci sono dei mac tenuti dal dipartimento di fisica in cui non si può nemmeno montare la flashdisk. praticamente delle catapecchie.
"gurghet":
guarda che io non vedo nulla... non è che sarà la peculiarità di qualche browser?? Io utilizzo safari e nel tuo post dove mi hai citato vedo delle lettere alla rinfusa al posto delle formule matematiche.
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