Esponenziale matrice

[giammarco.cugliari]

Buonasera ,
come potrei calcolarmi questa espressione?

$ sigma_ye^(sigma_y) $

Con

$ sigma_y=( ( 0 , -i ),( i , 0 ) ) $

Io ho pensato a una cosa del tipo

$( ( 0 , -i ),( i , 0 ) )( ( 0 , e^(-i) ),(e^( i) , 0 ) )$

ma non credo sia giusto !

[ostrogoto1]

Per definizione data una matrice A:
$ e^A=Id +A+A^2/2+A^3/(3!)+... $

$ e^(sigma_y)=[ ( 1 , 0 ),( 0 , 1 ) ]+[(0 , -i ),( i , 0)]+1/2[(1 , 0 ),( 0 , 1)]+1/6[(0 , -i ),( i , 0)]+... $

con una certa ciclicita' perche' $ sigma_y^2=Id $ et $ sigma_y^3=sigma_y $ etc

quindi poi considera le singole entrate della matrice: quella al posto (1,1) dara' $ 1+1/2+1/24+...=cosh(1) $ etc...

[gugo82]

Oppure, vedi che la matrice si può diagonalizzare come:
\[
A=S\cdot \Lambda\cdot S^{-1}
\]
con:
\[
\Lambda = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix},\quad S= \begin{pmatrix} \imath & -\imath \\ 1 & 1\end{pmatrix},\quad S^{-1}= \begin{pmatrix} -\frac{\imath}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{\imath}{2} & \frac{1}{2}\end{pmatrix}
\]
quindi:
\[
\exp (A)= S\cdot \exp(\Lambda) \cdot S^{-1}
\]
con:
\[
\exp \Lambda = \begin{pmatrix} \frac{1}{e} & 0 \\ 0 & e\end{pmatrix}\; .
\]

[dissonance]

Quello di Gugo è probabilmente il metodo più veloce, ma comunque ne propongo un altro. La matrice cercata è uguale a
\[
\left.\exp(\sigma_y\, t)\right|_{t=1},\]
quindi si puo' ottenere risolvendo il sistema
\[
\begin{cases}
{du\over dt} = \sigma_y u \\
\left.u\right|_{t=0} = \text{un vettore arbitrario}
\end{cases}
\]
Il sistema si puo' integrare direttamente. Io ottengo (ma con elevata probabilità di errore nei conti fatti in fretta)
\[
\exp(\sigma_y\, t)=
\frac{1}{2}
\begin{bmatrix} e^t + e^{-t} & -i e^t + i e^{-t} \\
i e^t - i e^{-t} & e^t + e^{-t}
\end{bmatrix}
\]

[giammarco.cugliari]

Grazie ad entrambi per le risposte !