Esponenziale Irrazionale

[Ryuzaky*]

Avendo una funzione esponenziale $a^x$ si ha che il dominio dell'esponenziale è $\mathbb{R}$ mentre se ho un esponente irrazionale del tipo $a^{\pi}$ come lo calcolo ?

Ho la seguente definizione che però non mi è molto chiara :

Per $0
$\forall x \in \mathbb{R} a^x :$
$a^x= Sup (a^q)$ con $q\in \mathbb{Q} cap ]-\infty, x[$

Per $x>1$

$\forall x \in \mathbb{R} a^x :$
$a^x= Sup (a^q)$ con $q\in \mathbb{Q} cap ]x, +\infty[$

[theras]

"Ryuzaky*":Avendo una funzione esponenziale $a^x$ si ha che il dominio dell'esponenziale è $\mathbb{R}$ mentre se ho un esponente irrazionale del tipo $a^{\pi}$ come lo calcolo ?

Ho la seguente definizione che però non mi è molto chiara :

Per $0
$\forall x \in \mathbb{R} a^x :$
$a^x= Sup (a^q)$ con $q\in \mathbb{Q} cap ]-\infty, x[$

Per $x>1$

$\forall x \in \mathbb{R} a^x :$
$a^x= Sup (a^q)$ con $q\in \mathbb{Q} cap ]x, +\infty[$

Ciao!
In altre parole questa definizione formalizza che una potenza si base a>0 ad esponente irrazionale x viene definita come l'estremo superiore dell'insieme di numeri reali ottenuti calcolando le potenze $a^q$,
quando s'assegnano a q gli infiniti valori razionali
(d'altronde sappiamo calcolare $a^q$ quando $q=m/n$..)
prossimi ad x:
ad esempio,se vuoi calcolare $3^pi$,
consideri l'insieme ${3^3.1=root(10)(3^31),3^3.14=root(50)(3^157),3^3.141=root(1000)(3^3141)..}$ e poi ne individui il sup,
o più prosaicamente scegli di fermare questo processo non appena si "stabilizzerà",in tale insieme numerico,
la cifra decimale cui vuoi approssimare $3^pi$..
Saluti dal web.

[Ryuzaky*]

Quindi nella seconda definizione dovrebbe essere inf e la potenza irrazionale è una sorta di separatore?

Comunque non capisco il senso di $\forall x \in \mathbb{R} a^x :$
$a^x= Sup (a^q)$ con $q\in \mathbb{Q} cap ]x, +\infty[$

Non basterebbe dire $q\in ]x, +\infty[$ ?

[theras]

"Ryuzaky*":Avendo una funzione esponenziale $a^x$ si ha che il dominio dell'esponenziale è $\mathbb{R}$ mentre se ho un esponente irrazionale del tipo $a^{\pi}$ come lo calcolo ?

Ho la seguente definizione che però non mi è molto chiara :

Per $0
$\forall x \in \mathbb{R} a^x :$
$a^x= Sup (a^q)$ con $q\in \mathbb{Q} cap ]-\infty, x[$

Per $x>1$

$\forall x \in \mathbb{R} a^x :$
$a^x= Sup (a^q)$ con $q\in \mathbb{Q} cap ]x, +\infty[$

Ciao!
No,perchè sarebbe una definizione mal posta e tautologica:
infatti in $(x,+oo)$ ci sarebbero "più numeri irrazionali che razionali" e,
scegliendo uno di tali irrazionali per assegnarlo come esponente ad a,
non sapresti ancora come calcolarlo perchè è proprio quello che stai definendo..
Comunque una cosa l'hai intutita bene:
una potenza di base a ed esponente irrazionale x è l'elemento di separazione tra le due classi
(che è possibile dimostrare esser separate e contigue..)
di numeri reali ottenute da ${a^q}$ assegnando a q le infinite approssimazioni razionali di x,
rispettivamente per eccesso e per difetto,
ad una cifra decimale via via crescente..
Saluti dal web.

[Ryuzaky*]

Ok grazie mille ultima cosa, non capisco perche se per 01$ $a^x=Inf(a^q)$ cioè non capisco perche si faccia questa distinzione delle basi se alla fine a me interessa solo definire un q irrazionale esponente di $a^q$