Esplodere derivata n-esima
Ciao a tutti,
che voi sappiate è possibile rendere una espressione come questa:
$$\frac{\mathrm{d} ^n}{\mathrm{d} x^n}\left [ \frac{1}{\prod_{j=1,...,p \\ j\neq k}(x-x_j)^{m_j}} \right ] $$
meno implicita?
Nella formula \(\displaystyle p \) e i vari \(\displaystyle m_j \) sono tutti interi fissati, \(\displaystyle k \) è l'unico indice da escludere nella produttoria ed infine i vari \(\displaystyle x_j \) sono dei numeri reali fissati.
Non riesco a fare granché, già alla derivata prima i conti esplodono abbastanza:
$$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}\left [ \frac{1}{\prod_{j=1,...,p \\ j\neq k}(x-x_j)^{m_j}} \right ]= \frac{-\sum_{j=1,...,p \\ j\neq k}m_j\prod_{i=1,...,p \\ i\neq k}(x-x_i)^{m_i-\delta_{ij}}}{\prod_{j=1,...,p \\ j\neq k}(x-x_j)^{2m_j}}$$
dove \(\displaystyle \delta_{ij} \) è la delta di Kronecker.
Si può fare qualcosa di buono?
Grazie.
che voi sappiate è possibile rendere una espressione come questa:
$$\frac{\mathrm{d} ^n}{\mathrm{d} x^n}\left [ \frac{1}{\prod_{j=1,...,p \\ j\neq k}(x-x_j)^{m_j}} \right ] $$
meno implicita?
Nella formula \(\displaystyle p \) e i vari \(\displaystyle m_j \) sono tutti interi fissati, \(\displaystyle k \) è l'unico indice da escludere nella produttoria ed infine i vari \(\displaystyle x_j \) sono dei numeri reali fissati.
Non riesco a fare granché, già alla derivata prima i conti esplodono abbastanza:
$$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}\left [ \frac{1}{\prod_{j=1,...,p \\ j\neq k}(x-x_j)^{m_j}} \right ]= \frac{-\sum_{j=1,...,p \\ j\neq k}m_j\prod_{i=1,...,p \\ i\neq k}(x-x_i)^{m_i-\delta_{ij}}}{\prod_{j=1,...,p \\ j\neq k}(x-x_j)^{2m_j}}$$
dove \(\displaystyle \delta_{ij} \) è la delta di Kronecker.
Si può fare qualcosa di buono?
Grazie.
Risposte
Non si legge nulla... Occhio alle formule.
In che senso?
Io le vedo correttamente inserite ed anche ben visualizzate.
Io le vedo correttamente inserite ed anche ben visualizzate.
Adesso sì, ma solo mezz'ora fa erano segni incomprensibili …
Mmmm... Ora le vedo ma ho dovuto caricare due volte la pagina.
Mi sa che comunque c'è qualche cosa che non va.
Per tornare IT, ci penso e ti dico.
Mi sa che comunque c'è qualche cosa che non va.
Per tornare IT, ci penso e ti dico.
Non so cosa dirvi, non ho modificato il messaggio se non pochi secondi dopo averlo inviato per aggiungere una informazione in più.
Comunque grazie gugo82.
Comunque grazie gugo82.
Ciao Ianero,
Credo che le cose si possano semplificare se invece di considerare la derivata di un quoziente consideri le potenze negative, cioè invece di
$\frac{\text{d}^n}{\text{d} x^n}[\frac{1}{\prod_{\overset{j = 1}{j \ne k}}^{p}(x-x_j)^{m_j}}] $
considerare
$\frac{\text{d}^n}{\text{d} x^n}[\prod_{\overset[j = 1]{j \ne k}}^{p}(x-x_j)^{- m_j}] $
Credo che le cose si possano semplificare se invece di considerare la derivata di un quoziente consideri le potenze negative, cioè invece di
$\frac{\text{d}^n}{\text{d} x^n}[\frac{1}{\prod_{\overset{j = 1}{j \ne k}}^{p}(x-x_j)^{m_j}}] $
considerare
$\frac{\text{d}^n}{\text{d} x^n}[\prod_{\overset[j = 1]{j \ne k}}^{p}(x-x_j)^{- m_j}] $
Grazie del consiglio, domani provo a vedere se riesco a farmelo tornare utile.
Ad ogni modo una precisazione: prima quando ho scritto ‘...sono tutti interi fissati’ intendevo ‘...sono tutti naturali fissati’. Sorry.
Ad ogni modo una precisazione: prima quando ho scritto ‘...sono tutti interi fissati’ intendevo ‘...sono tutti naturali fissati’. Sorry.
Prova a scomporlo in fratti semplici.
Senza un valore preciso è piuttosto oneroso spezzarlo in fratti semplici; penso che la cosa più elegante sarebbe trovare una ricorsione che lega la derivata $n$-esima alle precedenti, oppure una qualche formula induttiva sulla coppia $p,n$.
In generale non mi aspetto sia possibile semplificare la scrittura che ottieni usando Leibniz, cioè una grande sommatoria di produttorie con indici modificati.
Una strategia alternativa è notare che \(\frac{1}{1+a-X}=\sum X^k\), e che qualcosa di simile vale per \(\frac{1}{(a_1-X)\dots (a_n-X)}\); da qui basta "fare il fisico" e far entrare di forza la derivata $n$-esima nella sommatoria \(\sum f(k)X^k\), dove $f$ è la funzione generatrice della serie formale che ti interessa. Però anche questo approccio ha dei problemi.
In generale non mi aspetto sia possibile semplificare la scrittura che ottieni usando Leibniz, cioè una grande sommatoria di produttorie con indici modificati.
Una strategia alternativa è notare che \(\frac{1}{1+a-X}=\sum X^k\), e che qualcosa di simile vale per \(\frac{1}{(a_1-X)\dots (a_n-X)}\); da qui basta "fare il fisico" e far entrare di forza la derivata $n$-esima nella sommatoria \(\sum f(k)X^k\), dove $f$ è la funzione generatrice della serie formale che ti interessa. Però anche questo approccio ha dei problemi.
Per rendervi partecipi dei miei tentativi, forse un minimo di schema ordinato potrebbe esistere.
Ho chiamato \(\displaystyle w(x):=\prod_{j=1,...,p \\ j\neq k}(x-x_j)^{m_j} \) e ho trovato con un bel pò di conti:
\(\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} \left [ \frac{1}{w(x)} \right ]=-\frac{1}{w(x)}\left ( \sum_{i_1\neq k}\frac{m_{i_1}}{\left (x-x_{i_1} \right )} \right ) \)
\(\displaystyle \frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d} x^2} \left [ \frac{1}{w(x)} \right ]=\frac{1}{w(x)}\left ( \sum_{i_1\neq k\\ i_2\neq k}\frac{m_{i_1}m_{i_2}}{\left (x-x_{i_1} \right )(x-x_{i_2})} +\sum_{i_1\neq k}\frac{m_{i_1}}{\left (x-x_{i_1} \right )^2} \right ) \)
\(\displaystyle \frac{\mathrm{d}^3}{\mathrm{d} x^3} \left [ \frac{1}{w(x)} \right ]=-\frac{1}{w(x)}\left ( \sum_{i_1\neq k\\ i_2\neq k\\i_3\neq k}\frac{m_{i_1}m_{i_2}m_{i_3}}{\left (x-x_{i_1} \right )(x-x_{i_2})(x-x_{i_3})}+\sum_{i_1\neq k\\ i_2\neq k}\left (\frac{2m_{i_1}m_{i_2}}{\left (x-x_{i_1} \right )^2(x-x_{i_2})} + \\
+ \frac{m_{i_1}m_{i_2}}{\left (x-x_{i_1} \right )(x-x_{i_2})^2} \right ) +\sum_{i_1\neq k}\frac{2m_{i_1}}{\left (x-x_{i_1} \right )^3} \right ) \)
Ho chiamato \(\displaystyle w(x):=\prod_{j=1,...,p \\ j\neq k}(x-x_j)^{m_j} \) e ho trovato con un bel pò di conti:
\(\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} \left [ \frac{1}{w(x)} \right ]=-\frac{1}{w(x)}\left ( \sum_{i_1\neq k}\frac{m_{i_1}}{\left (x-x_{i_1} \right )} \right ) \)
\(\displaystyle \frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d} x^2} \left [ \frac{1}{w(x)} \right ]=\frac{1}{w(x)}\left ( \sum_{i_1\neq k\\ i_2\neq k}\frac{m_{i_1}m_{i_2}}{\left (x-x_{i_1} \right )(x-x_{i_2})} +\sum_{i_1\neq k}\frac{m_{i_1}}{\left (x-x_{i_1} \right )^2} \right ) \)
\(\displaystyle \frac{\mathrm{d}^3}{\mathrm{d} x^3} \left [ \frac{1}{w(x)} \right ]=-\frac{1}{w(x)}\left ( \sum_{i_1\neq k\\ i_2\neq k\\i_3\neq k}\frac{m_{i_1}m_{i_2}m_{i_3}}{\left (x-x_{i_1} \right )(x-x_{i_2})(x-x_{i_3})}+\sum_{i_1\neq k\\ i_2\neq k}\left (\frac{2m_{i_1}m_{i_2}}{\left (x-x_{i_1} \right )^2(x-x_{i_2})} + \\
+ \frac{m_{i_1}m_{i_2}}{\left (x-x_{i_1} \right )(x-x_{i_2})^2} \right ) +\sum_{i_1\neq k}\frac{2m_{i_1}}{\left (x-x_{i_1} \right )^3} \right ) \)
Comincia a fare il caso \[
w(x)=\frac{1}{(x-a)(x-b)}, \]
vediamo se viene fuori un pattern. Di tutti i suggerimenti che sono apparsi in questo post, quello della funzione generatrice di fmnq mi sembra il più gagliardo, ma purtroppo io non sono proprio esperto di questi conti...
Al limite prova a chiedere in Fisica, lì sicuro c'è gente che ne capisce di queste cose.
w(x)=\frac{1}{(x-a)(x-b)}, \]
vediamo se viene fuori un pattern. Di tutti i suggerimenti che sono apparsi in questo post, quello della funzione generatrice di fmnq mi sembra il più gagliardo, ma purtroppo io non sono proprio esperto di questi conti...
Al limite prova a chiedere in Fisica, lì sicuro c'è gente che ne capisce di queste cose.
Senza la pretesa di voler essere conclusivo in questa discussione voglio segnalare questa formula, che insieme alle osservazioni fatte da pilloeffe mi sembrano promettere bene, se volete divertirvi a provare a fare due conti fate pure 
Yes!
Sei stato invece conclusivo perché così si riesce a risolvere, anche se viene una espressione abbastanza abominevole e poco pratica, ma almeno si può fare.
Grazie ancora, e grazie a tutti quelli che ci hanno dedicato tempo.
Sei stato invece conclusivo perché così si riesce a risolvere, anche se viene una espressione abbastanza abominevole e poco pratica, ma almeno si può fare.
Grazie ancora, e grazie a tutti quelli che ci hanno dedicato tempo.
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