Esplicitare la formula di una successione ricorsiva
Ciao, ho la seguente successione definita per ricorsione:
$ { ( x_0=p ),( x_{n+1}=x_n^2-x_n ):} $
Devo trovare la formula con cui, dato n, si può calcolare il termine x_n
Ho esplicitato i primi 6 termini (qui scrivo i primi 4), ma non riesco a trovare la formula generale x_n:
$ x_0=p $
$ x_1=p^2-p=p(p-1) $
$ x_2=(p^2-p)^2-(p^2-p)=p(p-1)[p(p-1)-1] $
$ x_3=[(p^2-p)^2-(p^2-p)]^2-[(p^2-p)^2-(p^2-p)]=[(p^2-p)^2-(p^2-p)]{[(p^2-p)^2-(p^2-p)]-1}=p(p-1)[p(p-1)-1]{p(p-1)[p(p-1)-1]-1} $
$ { ( x_0=p ),( x_{n+1}=x_n^2-x_n ):} $
Devo trovare la formula con cui, dato n, si può calcolare il termine x_n
Ho esplicitato i primi 6 termini (qui scrivo i primi 4), ma non riesco a trovare la formula generale x_n:
$ x_0=p $
$ x_1=p^2-p=p(p-1) $
$ x_2=(p^2-p)^2-(p^2-p)=p(p-1)[p(p-1)-1] $
$ x_3=[(p^2-p)^2-(p^2-p)]^2-[(p^2-p)^2-(p^2-p)]=[(p^2-p)^2-(p^2-p)]{[(p^2-p)^2-(p^2-p)]-1}=p(p-1)[p(p-1)-1]{p(p-1)[p(p-1)-1]-1} $
Risposte
Ciao Alexandros543,
Sicuro che ti serva la formula generale con cui, dato $n$, si può calcolare il termine $x_n$ ?
Disponi di qualche informazione su $x_0 = p$ ? Ad esempio $0 < p < 1 $ o $p > 1 $ ?
Potrebbe essere interessante notare che si ha:
$x_{n + 1} - x_n = x_n^2 - 2 x_n \implies x_{n + 1} - x_n + 1 = x_n^2 - 2 x_n + 1 = (x_n - 1)^2 \ge 0 \implies x_{n + 1} \ge x_n - 1 $
Sicuro che ti serva la formula generale con cui, dato $n$, si può calcolare il termine $x_n$ ?
Disponi di qualche informazione su $x_0 = p$ ? Ad esempio $0 < p < 1 $ o $p > 1 $ ?
Potrebbe essere interessante notare che si ha:
$x_{n + 1} - x_n = x_n^2 - 2 x_n \implies x_{n + 1} - x_n + 1 = x_n^2 - 2 x_n + 1 = (x_n - 1)^2 \ge 0 \implies x_{n + 1} \ge x_n - 1 $
Sì, sicuro. Abbiamo fatto altri esercizi del genere: una volta individuata la formula, poi devo dimostrarla (di solito per induzione)
Su $ p $ non ci sono limitazioni: $ p\inR $
Su $ p $ non ci sono limitazioni: $ p\inR $
@Alexandros543: Riporteresti il testo dell'esercizio?
"gugo82":
@Alexandros543: Riporteresti il testo dell'esercizio?
Il testo dell'esercizio è quello riportato nel primo messaggio (è un esercizio assegnatoci dal prof)
Se può essere d'aiuto, fondamentalmente devo fare la stessa cosa che ho fatto qui:
$ { ( x_0=p>0 ),( x_{n+1}=x_n^2 ):} $
Esplicito i primi k termini per trovare la formula $ x_n=f(n) $ :
$ x_0=p $ $ x_1=p^2 $ $ x_2=p^4 $ $ x_3=p^8 $ (...)
Da cui osservo che $ x_n=p^{2^n} $
E poi dimostro la formula appena trovata.
"Ad occhio", non credo ci sia una forma chiusa maneggevole per quella roba lì.
Per questo ti ho chiesto di postare il testo completo dell'esercizio.
Ad esempio, per calcolare il limite della successione, non sempre serve avere a disposizione la forma esplicita... Basta usare con criterio la ricorrenza.
Ma se non è questo ciò che devi fare, non so come aiutarti al momento.
Per questo ti ho chiesto di postare il testo completo dell'esercizio.
Ad esempio, per calcolare il limite della successione, non sempre serve avere a disposizione la forma esplicita... Basta usare con criterio la ricorrenza.
Ma se non è questo ciò che devi fare, non so come aiutarti al momento.
Stai studiando sistemi dinamici?
In tal caso penso che sia più importante studiare gli equilibri e la stabilità
In tal caso penso che sia più importante studiare gli equilibri e la stabilità
@gugo82 Capito, in effetti negli altri esercizi dopo la dimostrazione ho calcolato il limite della successione... La "traccia" completa dell'esercizio è: trovare la formula x_n, dimostrarla e poi trovare il limite. Inizio a pensare che abbia trascritto male il sistema che definisce la successione 
Ad ogni modo, come calcolo il limite senza passare per la formula?
@anto_zoolander Analisi 1
Ad ogni modo, come calcolo il limite senza passare per la formula?
@anto_zoolander Analisi 1
Allora è molto probabile che, facendo copia-incolla, sia stato riportato il testo sbagliato.
Per calcolare il limite, usualmente, si determinano innanzitutto le soluzioni definitivamente costanti della ricorrenza; poi si cerca di capire, per $p$ diversi da quelli che producono le soluzioni costanti, se le successioni corrispondenti sono monotòne e limitate; si applica il Teorema sulla Regolarità delle Successioni Monotòne per stabilire se il limite esiste; infine il limite si calcola passando al limite la ricorrenza e risolvendo l'equazione che ne viene fuori.
Per calcolare il limite, usualmente, si determinano innanzitutto le soluzioni definitivamente costanti della ricorrenza; poi si cerca di capire, per $p$ diversi da quelli che producono le soluzioni costanti, se le successioni corrispondenti sono monotòne e limitate; si applica il Teorema sulla Regolarità delle Successioni Monotòne per stabilire se il limite esiste; infine il limite si calcola passando al limite la ricorrenza e risolvendo l'equazione che ne viene fuori.
Capito, grazie!
Prego.
Se servono suggerimenti chiedi pure.
Se servono suggerimenti chiedi pure.
@gugo82 Ho chiesto a dei compagni di corso e sembra che l'abbia scritta bene...
Per quanto riguarda la traccia, il prof non specificato nulla quando l'ha assegnato, per cui credo che sia quella dell'altro esercizio (trovare la formula $x_n(n)$, dimostrarla e trovare il limite). Nel caso in cui nessuno riesca a risolverla chiederò un chiarimento al prof stesso! Grazie comunque!
Comunque vorrei capire come calcolare il limite a partire dalla ricorrenza. Come la gestisco? Ho capito cosa fare (a grandi linee) ma non so proprio da dove partire "nella pratica"
Per quanto riguarda la traccia, il prof non specificato nulla quando l'ha assegnato, per cui credo che sia quella dell'altro esercizio (trovare la formula $x_n(n)$, dimostrarla e trovare il limite). Nel caso in cui nessuno riesca a risolverla chiederò un chiarimento al prof stesso! Grazie comunque!
Comunque vorrei capire come calcolare il limite a partire dalla ricorrenza. Come la gestisco? Ho capito cosa fare (a grandi linee) ma non so proprio da dove partire "nella pratica"
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo