Esplicitare funzione esponenziale

[jonbonjovi1]

Salve a tutti, mi sono appena iscritto al forum

Sono alle prese con il seguente problema:

Dovrei esplicitare la seguente funzione, sia secondo x, che secondo y (il gradiente dimostra che è possibile) e poi derivare le 2 funzioni esplicitate.

$ f(x,y)=x^2e^y-e^x-y^2 $

Qualcuno può illustrarmi i passaggi gentilmente?

[jonbonjovi1]

up?

[ciampax]

Mmmmm... ma con esplicitare intendi trovare l'espressione analitica della funzione esplicita? Dubito che riuscirai a farlo. Secondo me la richiesta dell'esercizio è semplicemente quella di dimostrare che ciò è possibile (attraverso il teorema della funzione implicita) e calcolare le derivate (possibilmente in un punto).

[jonbonjovi1]

"ciampax":Mmmmm... ma con esplicitare intendi trovare l'espressione analitica della funzione esplicita? Dubito che riuscirai a farlo. Secondo me la richiesta dell'esercizio è semplicemente quella di dimostrare che ciò è possibile (attraverso il teorema della funzione implicita) e calcolare le derivate (possibilmente in un punto).

Probabilmente hai ragione, io ho la soluzione dell'esercizio (senza i passaggi fondamentali, ovviamente), se ti serve, te la posso postare qui.

In ogni caso, potresti mostrarmi come calcolare le derivate senza avere la funzione analitica dell'esplicita?

[ciampax]

E' una semplice applicazione della chain rule: supponiamo che tu sappia scrivere $y=y(x)$. Allora puoi considerare la funzione $F(x)=f(x,y(x))=0$ in quanto, lungo la curva $(x,y(x))$ otterrai sempre l'uguaglianza a zero, dal momento che stai percorrendo il grafico della funzione $f$. Ne segue che

[tex]$0=\frac{dF}{dx}=\frac{\partial f}{\partial x}\cdot\frac{\partial x}{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial y}\cdot\frac{\partial y}{\partial x}=\frac{\partial f}{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial y}\cdot\frac{dy}{dx}$[/tex]

da cui segue

[tex]$\frac{dy}{dx}=-\frac{f_x}{f_y}$[/tex]

Analogamente per l'altra

[tex]$\frac{dx}{dy}=-\frac{f_y}{f_x}$[/tex]

Ma non hai un libro dove è spiegato il teorema della funzione implicita? Lì questa regola è scritta e dimostrata!

[jonbonjovi1]

Ti ringrazio, ora ho capito. Mi ero fatto ingannare dalla consegna dell'esercizio. In effetti non mi servono le funzioni esplicite per calcolarne la derivata, mi basta applicare il teorema che hai esposto tu (è quello di Dini, giusto?).

[ciampax]

Yeah!