Esperti di Trasformata di Fourier e spazi di Banach.
Salve volevo chiedere se sono nel punto giusto per porre la mia domanda a rigguardo della trasformata di fourier e spazi di banach. grazie.
Risposte
La sezione è quella giusta. Qui di esperti ne abbiamo da vendere 
La mia domanda riguarda la TdF definita per funzioni che appartengono allo spazio L^2(R).
In particolare , capito come estendere la definizione di TdF dallo spazio L^1(R) allo spazio L^2(R) sono arrivato al punto di domostrare il teorema di Plancherel e in particolare la formula di moltiplicazione.
Si dimostra facendo uso del prodotto scalare?!!
In particolare , capito come estendere la definizione di TdF dallo spazio L^1(R) allo spazio L^2(R) sono arrivato al punto di domostrare il teorema di Plancherel e in particolare la formula di moltiplicazione.
Si dimostra facendo uso del prodotto scalare?!!
Non capisco la domanda... Potresti riformularla?
Ciao il mio dubbio è come dimostrare la formula di moltiplicazione, enunciata dal teorema di plancherel per le funzioni appartenenti allo spazio L^2.
spero di essere stato più chiaro adesso
spero di essere stato più chiaro adesso
Un attimo... Il teorema di Plancherel che ricordo io è quello che assicura che la norma \(L^2\) della trasformata è uguale (o proporzionale, con un fattore di scala che varia a seconda della definizione di trasformata adottata) alla norma \(L^2\) della trasformanda, i.e. che:
\[
\| \hat{f}\|_2 = \|f\|_2 \qquad \text{(o } \| \hat{f}\|_2 = C\ \|f\|_2\text{).}
\]
Quindi può darsi che ci sia un po' di fraintendimento nominale. A quale teorema ti riferisci?
Forse alle formule di dualità tra prodotto e convoluzione:
\[
\begin{split}
\widehat{f\cdot g} &= \hat{f} * \hat{g}\\
\widehat{f*g} &= \hat{f} \cdot \hat{g}
\end{split}
\]
(o con le solite costanti moltiplicative, dipendenti dalla definizione di trasformata)?
Prova a fornire un po' più di contesto: ad esempio, potresti enunciare il teorema cui ti riferisci e specificare dove sta il problema, il passaggio che non capisci nella dimostrazione.
\[
\| \hat{f}\|_2 = \|f\|_2 \qquad \text{(o } \| \hat{f}\|_2 = C\ \|f\|_2\text{).}
\]
Quindi può darsi che ci sia un po' di fraintendimento nominale. A quale teorema ti riferisci?
Forse alle formule di dualità tra prodotto e convoluzione:
\[
\begin{split}
\widehat{f\cdot g} &= \hat{f} * \hat{g}\\
\widehat{f*g} &= \hat{f} \cdot \hat{g}
\end{split}
\]
(o con le solite costanti moltiplicative, dipendenti dalla definizione di trasformata)?
Prova a fornire un po' più di contesto: ad esempio, potresti enunciare il teorema cui ti riferisci e specificare dove sta il problema, il passaggio che non capisci nella dimostrazione.
mi riferisco alla prima formula da te scritta che deriva da quella più generale che è la formula di moltiplicazione.
Il mio dubbio è potrebbe essere dimostrata notando che partendo da f(x) appartenente a L^2 che trasformata secondo Fourier fornisce la f cappuccio (p) anch'essa appartenente a L^2.
Se io anti trasformo quest'ultima riottengo almeno q.o la f(x).
Ora mi chiedo ,poiche' entrambe appartengono a L^2, se io eguaglio i rispettivi prodotti scalari, non ottengo la formula da te scritta?!
Il mio dubbio è potrebbe essere dimostrata notando che partendo da f(x) appartenente a L^2 che trasformata secondo Fourier fornisce la f cappuccio (p) anch'essa appartenente a L^2.
Se io anti trasformo quest'ultima riottengo almeno q.o la f(x).
Ora mi chiedo ,poiche' entrambe appartengono a L^2, se io eguaglio i rispettivi prodotti scalari, non ottengo la formula da te scritta?!
Ah, quindi la formula di moltiplicazione che intendi tu è l'uguaglianza tra prodotto scalare delle funzioni e quello delle trasformate, i.e.:
\[
\tag{1}
\langle f,g\rangle = \langle \hat{f} ,\hat{g}\rangle
\]
(modulo le solite costanti di proporzionalità)?
Se è così, sì, l'uguaglianza tra norme si ottiene anche di qui prendendo \(g=f\).
Però, per scrivere la (1) devi sapere già che l'operatore di Fourier \(\hat{}\) mappa \(L^2\) in sé (altrimenti non ha senso prendere i prodotti scalari che figurano in (1)), cosa che ti assicua il teorema di Plancherel... Quindi devi stare un po' attento nel ricavare l'uguaglianza tra norme dalla (1).
\[
\tag{1}
\langle f,g\rangle = \langle \hat{f} ,\hat{g}\rangle
\]
(modulo le solite costanti di proporzionalità)?
Se è così, sì, l'uguaglianza tra norme si ottiene anche di qui prendendo \(g=f\).
Però, per scrivere la (1) devi sapere già che l'operatore di Fourier \(\hat{}\) mappa \(L^2\) in sé (altrimenti non ha senso prendere i prodotti scalari che figurano in (1)), cosa che ti assicua il teorema di Plancherel... Quindi devi stare un po' attento nel ricavare l'uguaglianza tra norme dalla (1).
ma quindi è corretto il mio ragionamento?
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