Espansione in fratti semplici, un metodo alternativo da comprendere
Salve,
scrivo riguardo la decomposizione dei fratti semplici per cercare un'alternativa ho fatto delle ricerche su Google tra le domande che vengono formulate sui forum ed ho trovato [questa risposta ( https://math.stackexchange.com/a/351563 ) al quesito specifico, mi scuso in anticipo se non fosse permesso l'inserimento di link ma è per attribuire un credito all'autore oltre alla sua spiegazione non trattandosi di farina del mio sacco.
Nonostante mi sia impegnato nel vedere se quel modo risolutivo fosse trattato in dispense o libri non mi sembra di aver trovato nulla a riguardo.
Ho cercato di metabolizzare la spiegazione che veniva fornita ed alcuni punti del caso particolare ho compreso il ragionamento, primo tra tutti la ragione per la traslazione di entrambi gli assi (originariamente uno coiuncide con l'asse delle ordinate mentre l'altro è a s = -1 quindi occorre traslare di mezza unità a destra affiché siano simmetrivi all'asse delle ordinate.
Inoltre penso di aver capito la ragione per la quale effettua la differenza tra il termine con il semiasse positivo ed il simmetrico negativo, ovvero per ottenere una misura positiva.
Da quel punto mi sono perso perché non ho capito come si possa determinare l'inverso di t modulo polinomio e quindi il resto a seguire.
Una volta chiarito il caso particolare mi chiedo se fosse possibile generalizzarlo e le domande sarebbero svariate, per esempio come fare a traslare i fattori del denominatore se ce ne fossero un numero dispari, pari, semplici, molteplici…
L'unica cosa che mi verrebbe da pensare in un caso generico è come fare la traslazione per rendere il denominatore simmetrico rispetto all'asse delle ordinate, ovvero calcolando la media algebrica degli assi della parabola.
Qualcuno conosce questa procedura risolutiva alternativa?
Grazie in anticipo.
scrivo riguardo la decomposizione dei fratti semplici per cercare un'alternativa ho fatto delle ricerche su Google tra le domande che vengono formulate sui forum ed ho trovato [questa risposta ( https://math.stackexchange.com/a/351563 ) al quesito specifico, mi scuso in anticipo se non fosse permesso l'inserimento di link ma è per attribuire un credito all'autore oltre alla sua spiegazione non trattandosi di farina del mio sacco.
Nonostante mi sia impegnato nel vedere se quel modo risolutivo fosse trattato in dispense o libri non mi sembra di aver trovato nulla a riguardo.
Ho cercato di metabolizzare la spiegazione che veniva fornita ed alcuni punti del caso particolare ho compreso il ragionamento, primo tra tutti la ragione per la traslazione di entrambi gli assi (originariamente uno coiuncide con l'asse delle ordinate mentre l'altro è a s = -1 quindi occorre traslare di mezza unità a destra affiché siano simmetrivi all'asse delle ordinate.
Inoltre penso di aver capito la ragione per la quale effettua la differenza tra il termine con il semiasse positivo ed il simmetrico negativo, ovvero per ottenere una misura positiva.
Da quel punto mi sono perso perché non ho capito come si possa determinare l'inverso di t modulo polinomio e quindi il resto a seguire.
Una volta chiarito il caso particolare mi chiedo se fosse possibile generalizzarlo e le domande sarebbero svariate, per esempio come fare a traslare i fattori del denominatore se ce ne fossero un numero dispari, pari, semplici, molteplici…
L'unica cosa che mi verrebbe da pensare in un caso generico è come fare la traslazione per rendere il denominatore simmetrico rispetto all'asse delle ordinate, ovvero calcolando la media algebrica degli assi della parabola.
Qualcuno conosce questa procedura risolutiva alternativa?
Grazie in anticipo.
Risposte
Ciao Luci a mare,
Benvenuto sul forum!
Potresti specificare cosa non ti è chiaro? Meglio ancora sarebbe se proponessi un esercizio sul quale hai dei dubbi, così ci ragioniamo...
Benvenuto sul forum!
Potresti specificare cosa non ti è chiaro? Meglio ancora sarebbe se proponessi un esercizio sul quale hai dei dubbi, così ci ragioniamo...
@pilloeffe, grazie per il benvenuto sul forum 
Se dicessi che non ho capito da come aveva calcolato il resto modulo polinomiale di quell'esercizio che cito:
potrebbe essere un punto di partenza?
Grazie per la disponibilità.
Se dicessi che non ho capito da come aveva calcolato il resto modulo polinomiale di quell'esercizio che cito:
How can we divide everything in sight by $t$? Notice that the inverse of $t$ modulo $4t^2-4t+17$ is $(-4t+4)/17$, while the inverse of $t$ modulo $4t^2+4t+17$ is $(-4t-4)/17$.
potrebbe essere un punto di partenza?
Grazie per la disponibilità.
Dire che l'inverso di $Q(x)$ modulo $P(x)$ è $q(x)$ equivale a dire che $Q(x) * q(x) equiv 1 mod P(x)$, ossia che esiste qualche costante $k in RR$ tale che:
$Q(x) * q(x) - 1 = k P(x)$.
In questo caso abbiamo $Q(x) = x$, $q(x) = -4/17 x + 4/17$ e $P(x) = 4x^2 - 4x + 17$ e difatti risulta:
$Q(x) * q(x) - 1 = -4/17 x^2 + 4/17 x - 1 = -1/17 * (4x^2 - 4x + 17) = -1/17 * P(x)$.
$Q(x) * q(x) - 1 = k P(x)$.
In questo caso abbiamo $Q(x) = x$, $q(x) = -4/17 x + 4/17$ e $P(x) = 4x^2 - 4x + 17$ e difatti risulta:
$Q(x) * q(x) - 1 = -4/17 x^2 + 4/17 x - 1 = -1/17 * (4x^2 - 4x + 17) = -1/17 * P(x)$.
@gugo82, grazie per il richiamo teorico. Sto cercando di applicarlo per ricavare il polinomio che ovviamente manca e provo a scrivere qualcosa a riguardo avendo posto $Q(x) = x$, poiché a priori non è noto $q(x)$ sostituisco a quella formula teorica:
\(\displaystyle \underset{Q(x)}{\underbrace{x}} \cdot q(x) - 1 = k (\underset{P(x)}{\underbrace{4x^2 - 4x + 17}}),\quad k \in \mathbb{R} \\
q(x) = \dfrac{k (4x^2 - 4x + 17) + 1}{x},\quad k \in \mathbb{R} \)
Però vedendo quell'addendo 1 nell'ultima riga c'è qualcosa che non mi quadra…
Grazie per la pazienza.
\(\displaystyle \underset{Q(x)}{\underbrace{x}} \cdot q(x) - 1 = k (\underset{P(x)}{\underbrace{4x^2 - 4x + 17}}),\quad k \in \mathbb{R} \\
q(x) = \dfrac{k (4x^2 - 4x + 17) + 1}{x},\quad k \in \mathbb{R} \)
Però vedendo quell'addendo 1 nell'ultima riga c'è qualcosa che non mi quadra…
Grazie per la pazienza.
Per ricavare $q(x)$ dividi $Q(x)$ per il suo termine noto, elimina il nuovo termine noto (che è $1$), dividi tutto per $x$ e cambia i segni.
@gugo82, ti ringrazio sentitamente per la spiegazione concreta che mi ha permesso di superare il primo scoglio.
Adesso provo a proseguire quell'esercizio e direi che andando a riprendere il numeratore della frazione antecedente alla simmetria (16t - 8) a prima vista verrebbe da applicare il principio di identità dei polinomi ma il risultato mi lascia perplesso
\(\displaystyle \frac{16t - 8}{(4t^2 - 4t + 17)(4t^2 + 4t + 17)} = \frac{A(-4t + 4)}{17(4t^2 - 4t + 17)} + \frac{B(4t + 4)}{17(4t^2 + 4t + 17)} \\
\displaystyle \frac{17(4t - 2)}{17(4t^2 - 4t + 17)(4t^2 + 4t + 17)} = \frac{A(-t + 1)}{17(4t^2 - 4t + 17)} + \frac{B(t + 1)}{17(4t^2 + 4t + 17)} \)
Sto procedendo bene?
Adesso provo a proseguire quell'esercizio e direi che andando a riprendere il numeratore della frazione antecedente alla simmetria (16t - 8) a prima vista verrebbe da applicare il principio di identità dei polinomi ma il risultato mi lascia perplesso
\(\displaystyle \frac{16t - 8}{(4t^2 - 4t + 17)(4t^2 + 4t + 17)} = \frac{A(-4t + 4)}{17(4t^2 - 4t + 17)} + \frac{B(4t + 4)}{17(4t^2 + 4t + 17)} \\
\displaystyle \frac{17(4t - 2)}{17(4t^2 - 4t + 17)(4t^2 + 4t + 17)} = \frac{A(-t + 1)}{17(4t^2 - 4t + 17)} + \frac{B(t + 1)}{17(4t^2 + 4t + 17)} \)
Sto procedendo bene?
Riprendo lo sviluppo del probema per condividere quanto ho fatto, in primo luogo nel mio post precedente non è completamente corretto quello che si dovrebbe fare per il proseguimento. In definitiva è necessaria l'espansione in fratti semplici di
\(\displaystyle \frac{16t - 8}{(4t^2 - 4t + 17)(4t^2 + 4t + 17)} = \frac{A \cdot t + B}{17(4t^2 - 4t + 17)} + \frac{C \cdot t + D}{17(4t^2 + 4t + 17)}\ ,\)
con soluzione:
\(\displaystyle A = 4,\ B = 30,\ C = -4,\ D = -38\ .\)
Notare che nella soluzione del testo linkato nel mio primo post potrebbe esserci un errore di battitura perché sembrerebbe che \(\displaystyle A = 42 \) che poi viene corretto con il suo sviluppo.
La decomposizione corretta è quindi:
\(\displaystyle \frac{16t - 8}{(4t^2 - 4t + 17)(4t^2 + 4t + 17)} = \frac{4 \cdot t + 30}{17(4t^2 - 4t + 17)} - \frac{4 \cdot t + 38}{17(4t^2 + 4t + 17)}\ . \)
Adesso viene ripristinata la variable s grazie alla sostituzione iniziale \(\displaystyle s = t - \frac{1}{2} \), ottenendo dopo qualche passaggio:
\(\displaystyle \frac{s}{(s^2 + 2s + 5)(s^2 + 4)} = \frac{s + 8}{17(s^2 + 4)} - \frac{s + 10}{17(s^2 + 2s + 5)}\, \)
che è la soluzione dell'esercizio in questione.
Sarebbe bello capire se questa risoluzione alternativa si potesse generalizzare ad altri casi, appena posso cercherò di fare un altro esercizio.
\(\displaystyle \frac{16t - 8}{(4t^2 - 4t + 17)(4t^2 + 4t + 17)} = \frac{A \cdot t + B}{17(4t^2 - 4t + 17)} + \frac{C \cdot t + D}{17(4t^2 + 4t + 17)}\ ,\)
con soluzione:
\(\displaystyle A = 4,\ B = 30,\ C = -4,\ D = -38\ .\)
Notare che nella soluzione del testo linkato nel mio primo post potrebbe esserci un errore di battitura perché sembrerebbe che \(\displaystyle A = 42 \) che poi viene corretto con il suo sviluppo.
La decomposizione corretta è quindi:
\(\displaystyle \frac{16t - 8}{(4t^2 - 4t + 17)(4t^2 + 4t + 17)} = \frac{4 \cdot t + 30}{17(4t^2 - 4t + 17)} - \frac{4 \cdot t + 38}{17(4t^2 + 4t + 17)}\ . \)
Adesso viene ripristinata la variable s grazie alla sostituzione iniziale \(\displaystyle s = t - \frac{1}{2} \), ottenendo dopo qualche passaggio:
\(\displaystyle \frac{s}{(s^2 + 2s + 5)(s^2 + 4)} = \frac{s + 8}{17(s^2 + 4)} - \frac{s + 10}{17(s^2 + 2s + 5)}\, \)
che è la soluzione dell'esercizio in questione.
Sarebbe bello capire se questa risoluzione alternativa si potesse generalizzare ad altri casi, appena posso cercherò di fare un altro esercizio.
Ho fatto alcuni esempi per vedere se la metodologia descritta nei post precedenti fosse generalizzabile, purtroppo in base alle mie conoscenze attuali sembra essere sfruttabile solo in circostanze particolari, pertanto lo sconsiglierei a chi leggerà questo thread.
Chissà magari un giorno se trovassi (o da parte di altri lettori) documentazione più esaustiva potrei consigliarlo.
Nel frattempo mi auguro che non venga chiesto esplicitamente in qualche esame…
Chissà magari un giorno se trovassi (o da parte di altri lettori) documentazione più esaustiva potrei consigliarlo.
Nel frattempo mi auguro che non venga chiesto esplicitamente in qualche esame…
Francamente, mai visto prima e mai usato. Vai tranquillo.
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