Espansione equazione

[kayvaan]

Ciao a tutti,
sono nuovo del forum, c'è un problema che non riesco a vedere mi spiego, io so per certo che
l'equazione $(k (3 k+2))/(k+1)^2$ è uguale a questa $3-(4 k+3)/(k+1)^2$

Qualcuno riesce a dirmi i passaggi che rendono vera l'uguaglianza?
Mi ci sbatto, so che è una cavolata e continuo a non vederla.

Grazie mille.

[Skyrim]

l'uguaglianza sussiste solo per certi valori di k in R

visto che i denominatori sono uguali basta porre i due numeratori uguali, da cui ottieni una equazioni di secondo grado spuria e le cui soluzioni sono k=0 e k=-2

Se infatti sostituisci i valori a le due espressioni ottieni lo stesso risultato

[gugo82]

"kayvaan":c'è un problema che non riesco a vedere mi spiego, io so per certo che
l'equazione (k (3 k+2))/(k+1)^2 è uguale a questa 3-(4 k+3)/(k+1)^2

Innanzitutto, quelle non sono equazioni: infatti, non c'è il segno di uguale.
Al massimo quelle robacce lì sono espressioni razionali nella variabile \(k\).

Inoltre, le due espressioni:
\[
\frac{k(3k+2)}{(k+1)^2} \qquad \text{e} \qquad 3-\frac{4k+3}{(k+1)^2}
\]
sono equivalenti; infatti, svolgendo il prodotto a numeratore nella prima frazione, tenendo presente che \(2=6-4\) e sommando e sottraendo \(3\) ottieni:
\[
\begin{split}
\frac{k(3k+2)}{(k+1)^2} &= \frac{3k^2+2k}{(k+1)^2}\\
&= \frac{3k^2+6k+3-4k-3}{(k+1)^2}\\
&= \frac{3(k^2+2k+1) - (4k+3)}{(k+1)^2}\\
&= \frac{3(k+1)^2 - (4k+3)}{(k+1)^2}\\
&= \frac{3\cancel{(k+1)^2}}{\cancel{(k+1)^2}} - \frac{4k+3}{(k+1)^2}\\
&= 3- \frac{4k+3}{(k+1)^2}
\end{split}
\]
come volevi.

[kayvaan]

No ragazzi siete fantastici, ci ho perso ore per questo -.-.
Grazie!!!

[Skyrim]

chiedo venia nella seconda espressione ho pensato erroneamente che fosse tutto un numeratore

[kayvaan]

Wormhole, hai ragione avevo scritto male, ho riscritto secondo le regole del forum.

[Skyrim]

no non preoccuparti tu avevi scritto comunque bene perchè avevi messo le parentesi, sono io che ho capito male