Esistono le funzioni inverse delle funzioni speciali
Stavo pensando a qualche "sottoclasse di EDO a v.s." nella forma
$ y'(x) = a(x)b(y(x)) $
in cui almeno la $b$ non sia elementarmente integrabile. Che so, tanto per fare ad esempio a caso, si pensi a
$y'(x) = (y(x))/sin(y(x))$
oppure che ne so, a quest'altra
$y'(x) = e^(-x^2(x))/e^(y^2(x))$
Seguendo un approccio naïf, nel tentare di risolvere esplicitamente equazioni di questo tipo si scopre che richiedono di ricorrere a funzioni speciali per esprimere le primitive e successivamente richiedono anche di ricorrere alle funzioni inverse delle funzioni speciali. Però una breve ricerca so Google mi dice che:
Nessun risultato trovato per "funzioni inverse delle funzioni speciali"
come potete constatare voi stessi:
http://www.google.it/search?q=funzioni+ ... 12&bih=274
Consigli?
$ y'(x) = a(x)b(y(x)) $
in cui almeno la $b$ non sia elementarmente integrabile. Che so, tanto per fare ad esempio a caso, si pensi a
$y'(x) = (y(x))/sin(y(x))$
oppure che ne so, a quest'altra
$y'(x) = e^(-x^2(x))/e^(y^2(x))$
Seguendo un approccio naïf, nel tentare di risolvere esplicitamente equazioni di questo tipo si scopre che richiedono di ricorrere a funzioni speciali per esprimere le primitive e successivamente richiedono anche di ricorrere alle funzioni inverse delle funzioni speciali. Però una breve ricerca so Google mi dice che:
Nessun risultato trovato per "funzioni inverse delle funzioni speciali"
come potete constatare voi stessi:
http://www.google.it/search?q=funzioni+ ... 12&bih=274
Consigli?
Risposte
Beh, quando le funzioni speciali sono invertibili, certo che esistono delle inverse... Ma, quando già una funzione non è elemetare, figurati l'inversa che zozzeria immonda è! 
Ad ogni modo, la funzione \(\frac{\sin x}{x}\) non è invertibile globalmente, perchè oscilla.
Ad ogni modo, la funzione \(\frac{\sin x}{x}\) non è invertibile globalmente, perchè oscilla.
Chiedo scusa a tutti ma nella fretta ho omesso il punto interrogativo alla fine della domanda del titolo del topic [ma forse non ci stava]
Mi rendo conto che il secondo esempio è davvero orrendo ed osceno ma era il primo esempio di funzione non elementarmente integrabile che mi veniva in mente. Per ora ignoriamolo. Quello che volevo dire è questo. È noto che una funzione speciale, con opportune ipotesi è invertibile. Ma questa inversa è anch'essa una funzione speciale?
Mi rendo conto che il secondo esempio è davvero orrendo ed osceno ma era il primo esempio di funzione non elementarmente integrabile che mi veniva in mente. Per ora ignoriamolo. Quello che volevo dire è questo. È noto che una funzione speciale, con opportune ipotesi è invertibile. Ma questa inversa è anch'essa una funzione speciale?
In realtà dipende da cosa tu consideri come "funzione speciale".
Di solito si intendono come funzioni speciali tutte quelle funzioni (elementari o no) che si presentano con una certa frequenza nella risoluzione di problemi di carattere fisico/ingegneristico, e.g.: le funzioni di Bessel (non elementari), i polinomi di Legendre (elementari), la funzione di Lambert, etc...
Quindi, se l'inversa della tua funzione gode di questa proprietà, può benissimo essere chiamata funzione speciale.
Di solito si intendono come funzioni speciali tutte quelle funzioni (elementari o no) che si presentano con una certa frequenza nella risoluzione di problemi di carattere fisico/ingegneristico, e.g.: le funzioni di Bessel (non elementari), i polinomi di Legendre (elementari), la funzione di Lambert, etc...
Quindi, se l'inversa della tua funzione gode di questa proprietà, può benissimo essere chiamata funzione speciale.
Credo di essermi dato la zappa sui piedi da solo perché ho scelto un esempio davvero bruttissimo. Mi sono ricordato solo adesso che la funzione seno integrale è definita al seguente modo:
$ Si(x) = \int_0^x (sin(t))/t\,dt $
Se ora integro la mia orrida equazione, penso che la scrittura
$ \int_0^x sin(y(t))/(y(t))y'(t) dt = \int_0^x\,dt $
sia valida solo ed eslusivamente se sto risolvendo il PdC con condizione iniziale $(0,0)$. Solo in questo caso infatti posso scrivere
$ Si(y(x)) = x $
Se ora volesssi esplicitare $y(x)$ mi servirebbe la funzione inversa della funzione $Si(x)$. Come giustamente mi ha fatto notare gugo82, dovrei prima di tutto restringere $ Si(y(x))$ ad un opportuno intervallo di monotonia e solo succesivamente potrei invertirla su questo intervallo stesso. Qualcuno sa se è possibile farlo?
Ecco, se però dovessi risolvere un PdC con condizione iniziale diversa da $(0,0)$ ho nuovamente bisogno di una nuova funzione speciale. Non può essere la funzione $ Si(y(x))$ perché essa è definita solo se sto integrando tra $0$ e $x$ ed un'integrazione del genere sarebbe valida solo con la condizione v$(0,0)$. Ad esempio già la condizione iniziale (1,1) mi lascia disarmato sulla scelta degli estremi di integrazione. Ad esempio non so se è corretto scrivere
$ \int_1^x sin(y(t))/(y(t))y'(t) dt = \int_1^x\,dt $
e quindi
$ Si(y(x)) = x + Si(1) - 1 $
Fin qui è corretto il mio ragionamento?
$ Si(x) = \int_0^x (sin(t))/t\,dt $
Se ora integro la mia orrida equazione, penso che la scrittura
$ \int_0^x sin(y(t))/(y(t))y'(t) dt = \int_0^x\,dt $
sia valida solo ed eslusivamente se sto risolvendo il PdC con condizione iniziale $(0,0)$. Solo in questo caso infatti posso scrivere
$ Si(y(x)) = x $
Se ora volesssi esplicitare $y(x)$ mi servirebbe la funzione inversa della funzione $Si(x)$. Come giustamente mi ha fatto notare gugo82, dovrei prima di tutto restringere $ Si(y(x))$ ad un opportuno intervallo di monotonia e solo succesivamente potrei invertirla su questo intervallo stesso. Qualcuno sa se è possibile farlo?
Ecco, se però dovessi risolvere un PdC con condizione iniziale diversa da $(0,0)$ ho nuovamente bisogno di una nuova funzione speciale. Non può essere la funzione $ Si(y(x))$ perché essa è definita solo se sto integrando tra $0$ e $x$ ed un'integrazione del genere sarebbe valida solo con la condizione v$(0,0)$. Ad esempio già la condizione iniziale (1,1) mi lascia disarmato sulla scelta degli estremi di integrazione. Ad esempio non so se è corretto scrivere
$ \int_1^x sin(y(t))/(y(t))y'(t) dt = \int_1^x\,dt $
e quindi
$ Si(y(x)) = x + Si(1) - 1 $
Fin qui è corretto il mio ragionamento?
Posto un'altra riflessione. Quelli da me qui posti sono soltanto alcuni piccoli esempi. Io vorrei generalizzare il ragionamento. In questi e magari tanti altri casi in cui non esiste nemmeno una funzione speciale per esprimere la primitiva [e quindi figuriamoci la funzione inversa della funzione speciale] come bisogna comportarsi? Bisogna "lavorarci sopra" e costruirsi/inventarsi la funzione speciale oppure conviene seguire "approcci trasversali"?
Con "approcci trasversali" intendo dire che magari non è necessario risolvere esplicitamente l'EDO [magari anche perché è di fatto impossibile] ma semplicemente sfruttando altre proprietà si riesce comunque a risolvere il problema.
Sbaglio?
Con "approcci trasversali" intendo dire che magari non è necessario risolvere esplicitamente l'EDO [magari anche perché è di fatto impossibile] ma semplicemente sfruttando altre proprietà si riesce comunque a risolvere il problema.
Sbaglio?
"magliocurioso":
Credo di essermi dato la zappa sui piedi da solo perché ho scelto un esempio davvero bruttissimo. Mi sono ricordato solo adesso che la funzione seno integrale è definita al seguente modo:
$ Si(x) = \int_0^x (sin(t))/t\,dt $
Se ora integro la mia orrida equazione, penso che la scrittura
$ \int_0^x sin(y(t))/(y(t))y'(t) dt = \int_0^x\,dt $
sia valida solo ed eslusivamente se sto risolvendo il PdC con condizione iniziale $(0,0)$. Solo in questo caso infatti posso scrivere
$ Si(y(x)) = x $
Se ora volesssi esplicitare $y(x)$ mi servirebbe la funzione inversa della funzione $Si(x)$. Come giustamente mi ha fatto notare gugo82, dovrei prima di tutto restringere $ Si(y(x))$ ad un opportuno intervallo di monotonia e solo succesivamente potrei invertirla su questo intervallo stesso. Qualcuno sa se è possibile farlo?
Certo che è possibile farlo... Però la parte "difficile" è far vedere che la soluzione \(y(x)\) del tuo problema cade tutta in un intervallo di monotonia del senointegrale.
Queste cose si possono fare anche senza essere in possesso della soluzione in forma (più o meno) esplicita. Questo procedimento si chiama studio qualitativo delle soluzioni e ti permette di tirar fuori dalla sola EDO e dalle condizioni iniziali molte proprietà della soluzione di un PdC che, pur sapendo che esiste, non riesci a scrivere in termini elementari.
"magliocurioso":
Ecco, se però dovessi risolvere un PdC con condizione iniziale diversa da $(0,0)$ ho nuovamente bisogno di una nuova funzione speciale. Non può essere la funzione $ Si(y(x))$ perché essa è definita solo se sto integrando tra $0$ e $x$ ed un'integrazione del genere sarebbe valida solo con la condizione v$(0,0)$. Ad esempio già la condizione iniziale (1,1) mi lascia disarmato sulla scelta degli estremi di integrazione. Ad esempio non so se è corretto scrivere
$ \int_1^x sin(y(t))/(y(t))y'(t) dt = \int_1^x\,dt $
e quindi
$ Si(y(x)) = x + Si(1) - 1 $
Fin qui è corretto il mio ragionamento?
Vediamo... Vuoi risolvere il PdC:
\[
\begin{cases}
\sin y(x)\ y^\prime (x) = y(x)\\
y(1)=1
\end{cases}
\]
Supponendo di poter effettivamente separare le variabili (questo è il caso, giacché almeno intorno a \(x_0=1\) la soluzione esiste ed è unica, è strettamente crescente e convessa), hai:
\[
\int_1^x \frac{\sin y(t)}{y(t)}\ y^\prime (t)\ \text{d} t = x-1
\]
ossia, facendo la sostituzione \(\tau = y(t)\) nel primo membro:
\[
\operatorname{Si}(y(x))-\operatorname{Si}(1) = \int_0^{y(x)} \frac{\sin \tau}{\tau}\ \text{d} \tau -\int_0^1 \frac{\sin \tau}{\tau}\ \text{d} \tau =x-1
\]
da cui la soluzione in forma esplicita:
\[
\operatorname{Si}(y(x))=x-1+\operatorname{Si}(1).
\]
Il problema, ora, è che per esplicitare la \(y(x)\) devi essere sicuro che, detto \(]x^-,x^+[\) il suo intervallo massimale di fefinizione, l'immagine \(y(]x^-,x^+[)\) risulti tutta contenuta in uno degli intervalli di monotonia stretta di \(\operatorname{Si}(y)\).
Per fare ciò occorre fare preventivamente uno studio qualitativo, come accennavo prima.
Maggiori informazioni le trovi nel capitolo 4 delle dispense segnalate qui.
Faccio finta di aver fatto a mano lo studio qualitativo:
http://i48.tinypic.com/21mepld.jpg
Ora, essendo un'equazione autonoma, tutte le altre soluzioni "dovrebbero essere simili" [bturalmente parlando le ottengo semplicemente "traslando" la soluzione trovata"].
Se però considero il generico PdC, [suppongo ovviamente che la soluzione esista e sia unica] per ogni intervallo di monotonia stretta servirebbe una funzione inversa diversa?
http://i48.tinypic.com/21mepld.jpg
Ora, essendo un'equazione autonoma, tutte le altre soluzioni "dovrebbero essere simili" [bturalmente parlando le ottengo semplicemente "traslando" la soluzione trovata"].
Se però considero il generico PdC, [suppongo ovviamente che la soluzione esista e sia unica] per ogni intervallo di monotonia stretta servirebbe una funzione inversa diversa?
"magliocurioso":
Faccio finta di aver fatto a mano lo studio qualitativo:
http://i48.tinypic.com/21mepld.jpg
Osserva, però, che il grafico tracciato non è quello di una funzione di \(x\).
Il grafico della tua soluzione \(y(x)\) è il tratto di curva che comincia nel punto di ordinata \(-\pi\) e termina in quello di ordinata \(\pi\).
Tra l'altro, il grafico fatto mi fa venire in mente quanto segue.
Dato che la tua soluzione è crescente e convessa, essa è invertibile intorno a \(1\); pertanto, considerata la funzione inversa \(x(y)\), essa risolve il PdC:
\[
\begin{cases}
x^\prime (y) = \frac{\sin y}{y}\\
x(1)=1
\end{cases}
\]
e perciò:
\[
x(y)=\operatorname{Si}(y)+1-\operatorname{Si}(1)\; .
\]
Per determinare \(y(x)\) basta invertire la relazione precedente intorno a \((1,1)\).
La funzione a secondo membro, \(\Phi (y):=\operatorname{Si}(y)+1-\operatorname{Si}(1)\), è strettamente crescente in \([-\pi,\pi]\); posto \(x^-:=\operatorname{Si}(-\pi)+1-\operatorname{Si}(1)\approx -1.79802\) e \(x^+:=\operatorname{Si}(\pi)+1-\operatorname{Si}(1)\approx 1.90585\), sei sicuramente in grado di invertire la \(]-\pi,\pi[\ni y\mapsto \Phi(y)\in ]x^-,x^+[\) e, detta \(\phi:]x^-,x^+[\to ]-\pi,\pi[\) l'inversa di tale funzione, essa è di classe \(C^1(]x^-,x^+[)\) (ed addirittura analitica), strettamente crescente, soddisfa \(\phi (1)=1\) e la EDO \(\sin \phi(x)\ \phi^\prime (x)=\phi (x)\) (per il teorema di derivazione della funzione inversa).
Ne consegue che la soluzione \(y\) del tuo PdC originario è proprio la \(\phi\).
"magliocurioso":
Se però considero il generico PdC, [suppongo ovviamente che la soluzione esista e sia unica] per ogni intervallo di monotonia stretta servirebbe una funzione inversa diversa?
Certo.
D'altra parte, questa cosa la fai da sempre... Pensa alle disequazioni trigonometriche: quando le risolvi, aggiungere la periodicità delle soluzioni equivale, grossolanamente parlando, a passare da una funzione inversa locale ad un altra.
Perdona ancora la mia estenuante pedanteria [sicuramente ti faranno santo] ma ho ancora alcuni piccoli grandi dubbi.
Mi pare di capire che se considero la generica condizione iniziale $(y(x_0), y_0)$ [suppongo ancora di sceglierla sensatamente tale per cui la soluzione esista e sia unica] la ricerca della soluzione $\phi$ diventa più problematica.
La mia domanda (che poi in realtà proprio su questo punto che si incentra il dubbio che mi spinse ad aprire questa discussione) è questa: nel caso più generale possibile e qui generalizzo al massimo, se devo invertire una generica funzione speciale, posso costruirmi la generica $\phi$ inversa della funzione speciale oppure è un'operazione così delicata che mi costringe ad analizzare separatamente e dettagliatamente caso per caso il PdC che di volta in volta mi si può presentare?
Brutalmente parlando: non disponendo prontamente di funzioni inverse delle funzioni speciali, ""me le devo creare di volta in volta"" oppure esiste già "qualcosa di pronto"?
Mi pare di capire che se considero la generica condizione iniziale $(y(x_0), y_0)$ [suppongo ancora di sceglierla sensatamente tale per cui la soluzione esista e sia unica] la ricerca della soluzione $\phi$ diventa più problematica.
La mia domanda (che poi in realtà proprio su questo punto che si incentra il dubbio che mi spinse ad aprire questa discussione) è questa: nel caso più generale possibile e qui generalizzo al massimo, se devo invertire una generica funzione speciale, posso costruirmi la generica $\phi$ inversa della funzione speciale oppure è un'operazione così delicata che mi costringe ad analizzare separatamente e dettagliatamente caso per caso il PdC che di volta in volta mi si può presentare?
Brutalmente parlando: non disponendo prontamente di funzioni inverse delle funzioni speciali, ""me le devo creare di volta in volta"" oppure esiste già "qualcosa di pronto"?
In Matematica, come in tutte le manifestazioni della vita umana, raramente esiste "qualcosa di pronto" ed adatto a tutte le esigenze.
Soprattutto in queste questioni di equazioni differenziali, il più delle volte ci si deve accontentare di sapere che la soluzione di un problema esiste e che ha certe proprietà qualitative che discendono dall'equazione; riuscire ad esprimere esplicitamente la soluzione di un problema è cosa che riesce in pochissimi, particolarissimi e studiatissimi casi.
Soprattutto in queste questioni di equazioni differenziali, il più delle volte ci si deve accontentare di sapere che la soluzione di un problema esiste e che ha certe proprietà qualitative che discendono dall'equazione; riuscire ad esprimere esplicitamente la soluzione di un problema è cosa che riesce in pochissimi, particolarissimi e studiatissimi casi.
"gugo82":
In Matematica, come in tutte le manifestazioni della vita umana, raramente esiste "qualcosa di pronto" ed adatto a tutte le esigenze.
Soprattutto in queste questioni di equazioni differenziali, il più delle volte ci si deve accontentare di sapere che la soluzione di un problema esiste e che ha certe proprietà qualitative che discendono dall'equazione; riuscire ad esprimere esplicitamente la soluzione di un problema è cosa che riesce in pochissimi, particolarissimi e studiatissimi casi.
Hai perfettamente ragione e credo che, dopo tutto, il fascino della matematica consista proprio in questa ricerca della soluzione ai vari problemi che si presentano.
Ti faccio però un'ultima domanda: esiste qualche particolare caso in cui "è nota" la funzione inversa di qualche funzione speciale? [presumo ovviamente che quest'altra funzione inversa sia a sua volta un'altra funzione speciale].
So che posso sembrare scocciante, magari mi odierai già, ma mi affascinano questi argomenti
Un esempio banale è dato dalla funzione di Lambert, \(W(x)\), la cui inversa è \(we^w\) ristretta ad uno dei suoi intervalli di monotonia.
Oltre alla funzione di Lambert ci stanno altri particolari casi?
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