Esistono 2 successioni tali che la serie...

[randomize]

Devo determina se è possibile che esistano 2 successioni:

$a_n$ successione di numeri reali
$b_n$ successione di numeri reali limitata

tali che per ogni numero reale $alpha>0$ si ha:

$ sum_(n = 1)^infty(a_n*alpha^(b_n))=1 $

Grazie, qualsiasi suggerimento sarà benaccetto.

[Raptorista1]

Scritta così è chiaramente impossibile, basta prendere \(\alpha = 1\) e poi \(\alpha = 2\).
Credo che tu piuttosto voglia sapere se è sempre vero che, dato \(\alpha >0\), esistono \(a_n, b_n\) (dipendenti da \(\alpha\)) tali che...

Giusto?

[randomize]

Grazie raptorista per la risposta, purtroppo $a_n$ e $b_n$ sono indipendenti da $alpha$, l'unica restrizione posta su $alpha$ è che $0 credi possano esistere tali $a_n$ e $b_n$ ?

[Raptorista1]

A parte il caso banale in cui \(b_n = 0\) sempre, che di fatto fa sparire \(\alpha\), non saprei dire su due piedi, ma mi sembra di no.

[randomize]

Sono riuscito a trasformare il problema in un'altra forma:

$lim_(q -> infty)sum_(p = 1)^infty(a_(q,p)*alpha^(b_p))=1$

dove per ogni $q$ esiste un numero finito di $p$ per cui $a_(q,p)!=0$
quindi esiste $a_(q,p)$ e $alpha^(b_p)$ che verifica l'uguglianza?

io ho provato ad immaginarmi la matrice $A=a_(q,p)$ e il vettore colonna $B=alpha^(b_p)$ quindi $lim_(q -> infty)sum_(p = 1)^infty(a_(q,p)*alpha^(b_p))=lim_(riga -> infty)A*B$
in particolare le righe di $A$ hanno un numero finito di elementi diverso da $0$ ma non sono andato oltre perché non credo che posso fare prima il limite di $A$ e poi di $B$ e ottenere il risultato dal loro prodotto.