Esistenza, unicità e regolarità soluzioni ODE
Considero la ODE $y'(t)=f(t,y(t))$ con la condizione iniziale $y(t_0)=y_0$.
Il teorema di esistenza e unicità per un problema di Cauchy dice che se la funzione $f$ è lipschitziana in $y$ e continua in $t$ allora esiste ed è unica una soluzione locale dell'ODE $y'(t)=f(t,y(t))$ con la condizione iniziale $y(t_0)=y_0$.
Nella sezione successiva della pagina wikipedia dedicata al teorema si dice però che le ipotesi del teorema sono che $f$ sia continua, che sia lipschitziana in $y$ e che sia uniformemente continua in $t$.
Come stanno le cose? Cioè, quali sono effettivamente le ipotesi del teorema?
Il teorema di esistenza e unicità per un problema di Cauchy dice che se la funzione $f$ è lipschitziana in $y$ e continua in $t$ allora esiste ed è unica una soluzione locale dell'ODE $y'(t)=f(t,y(t))$ con la condizione iniziale $y(t_0)=y_0$.
Nella sezione successiva della pagina wikipedia dedicata al teorema si dice però che le ipotesi del teorema sono che $f$ sia continua, che sia lipschitziana in $y$ e che sia uniformemente continua in $t$.
Come stanno le cose? Cioè, quali sono effettivamente le ipotesi del teorema?
Risposte
Ciao thedarkhero,
Dai un'occhiata alla versione in inglese qui, in modo particolare ai .pdf che puoi trovare nelle References e negli External Links.
Dai un'occhiata alla versione in inglese qui, in modo particolare ai .pdf che puoi trovare nelle References e negli External Links.
@ thedarkhero: Ma studiare da un libro, no? 
Comunque, le varie ipotesi sul secondo membro servono a dimostrare tre cose differenti: esistenza, unicità e regolarità.
Comunque, le varie ipotesi sul secondo membro servono a dimostrare tre cose differenti: esistenza, unicità e regolarità.
Nella pagina wikipedia inglese si richiede che $f$ sia continua in $t$ e localmente lipschitziana in $y$ affinchè siano garantite esistenza ed unicità locale.
Nel pdf citato nelle References si richiede che $f$ sia continua, uniformemente continua in $t$ e localmente lipschitziana in $y$ affinchè siano garantite esistenza e unicità locale e la soluzione sia di classe $C^1$.
Nel pdf citato negli External Links si richiede che $f$ sia continua e che sia localmente lipschitziana in $y$ affinchè siano garantite esistenza e unicità locale.
@gugo82: eventualmente hai qualche testo in particolare da consigliarmi?
Nel pdf citato nelle References si richiede che $f$ sia continua, uniformemente continua in $t$ e localmente lipschitziana in $y$ affinchè siano garantite esistenza e unicità locale e la soluzione sia di classe $C^1$.
Nel pdf citato negli External Links si richiede che $f$ sia continua e che sia localmente lipschitziana in $y$ affinchè siano garantite esistenza e unicità locale.
@gugo82: eventualmente hai qualche testo in particolare da consigliarmi?
"thedarkhero":
@gugo82: eventualmente hai qualche testo in particolare da consigliarmi?
Comincia dal testo di Analisi II usato alla triennale: qual era?
Il De Marco.
Riporta questa versione:
Teorema di esistenza ed unicità locale:
Sia Y un K-spazio di Banach, $\Omega$ aperto di $RR \times Y$, $f: \Omega \rightarrow Y$ continua e (localmente) lipschitziana nella seconda variabile, uniformemente nella prima.
Per ogni $(t_0,y_0) \in \Omega$ esiste $\delta>0$ e $\phi \in C^1([t_0-\delta, t_0+\delta],Y)$ che è soluzione del problema di Cauchy
$y'=f(t,y)$; $y(t_0)=y_0$.
Inoltre se $\psi \in C^1(I, Y)$ è soluzione dello stesso problema di Cauchy, in un intervallo $I$ intorno di $t_0$, $\phi$ e $\psi$ coincidono in un intorno di $t_0$.
Quindi le ipotesi che garantiscono esistenza e unicità locale sono:
1) $f$ continua e (localmente) lipschitziana in $y$; (ma la lipschitzianità locale non implica la continuità?)
2) $f$ uniformemente continua in $t$.
Riporta questa versione:
Teorema di esistenza ed unicità locale:
Sia Y un K-spazio di Banach, $\Omega$ aperto di $RR \times Y$, $f: \Omega \rightarrow Y$ continua e (localmente) lipschitziana nella seconda variabile, uniformemente nella prima.
Per ogni $(t_0,y_0) \in \Omega$ esiste $\delta>0$ e $\phi \in C^1([t_0-\delta, t_0+\delta],Y)$ che è soluzione del problema di Cauchy
$y'=f(t,y)$; $y(t_0)=y_0$.
Inoltre se $\psi \in C^1(I, Y)$ è soluzione dello stesso problema di Cauchy, in un intervallo $I$ intorno di $t_0$, $\phi$ e $\psi$ coincidono in un intorno di $t_0$.
Quindi le ipotesi che garantiscono esistenza e unicità locale sono:
1) $f$ continua e (localmente) lipschitziana in $y$; (ma la lipschitzianità locale non implica la continuità?)
2) $f$ uniformemente continua in $t$.
"thedarkhero":Non basta chiedere che \( f \) sia continua separatamente in ciascuna variabile affinché sia continua.
(ma la lipschitzianità locale non implica la continuità?)
[ot]Se vuoi che succeda quello che ho scritto, devi chiedere qualcosa di più della continuità in ciascuna variabile.
Se \( f\colon E\times F\to G \) è 1) continua in ciascuna variabile separatamente (cioè per ogni \( x\in E \) la funzione \( f(x,{-})\colon G\to F \), \( x\mapsto f(x,y) \) è continua, e per ogni \( y\in F \)...); 2) \( f \) è continua nella seconda variabile uniformemente rispetto alla prima, e cioè preso un \( y_0\in F \), per ogni \( \epsilon > 0 \) esiste un \( \delta > 0 \) tale che \( \lVert f(x,y) - f(x,y_0)\rVert < \epsilon \) ogniqualvolta \( \lVert y - y_0\rVert < \delta \), qualunque sia \( x\in E \); allora \( f \) è continua.
Non so quanto possa esserti utile ma volevo dirtelo...[/ot]
Il punto è che se uno vuole semplificare le dimostrazioni, ricorrendo a tecniche di Analisi Funzionale di base, qualcosa del discorso si perde...
In generale la faccenda per i teoremi locali va più o meno così: il p.d.C. del primo ordine in forma normale:
\[
\left\{ \begin{split} y^\prime (x) &= f(x,y(x)) \\ y(x_0) &= y_0 \end{split} \right.
\]
intorno al punto iniziale $(x_0,y_0)$ ha:
In generale la faccenda per i teoremi locali va più o meno così: il p.d.C. del primo ordine in forma normale:
\[
\left\{ \begin{split} y^\prime (x) &= f(x,y(x)) \\ y(x_0) &= y_0 \end{split} \right.
\]
intorno al punto iniziale $(x_0,y_0)$ ha:
- [*:1h01m38e] almeno una soluzione di classe $C^1$ (esistenza) se $f(x,y)$ è continua intorno ad $(x_0,y_0)$;
[/*:m:1h01m38e]
[*:1h01m38e] un'unica soluzione di classe $C^1$ (esistenza ed unicità) se $f(x,y)$ è continua e localmente lipschitziana rispetto ad $y$ intorno a $(x_0,y_0)$;
[/*:m:1h01m38e]
[*:1h01m38e] un'unica soluzione di classe $C^k$ (esistenza, unicità e maggiore regolarità) se $f(x,y)$ è di classe $C^(k-1)$ intorno a $(x_0,y_0)$.[/*:m:1h01m38e][/list:u:1h01m38e]
Il succo è che per l'esistenza semplice di una soluzione basta la continuità globale della $f(x,y)$ intorno al punto, ma se vuoi l'unicità ti serve anche la lipschitzianità nella variabile dipendente (cosa che è assicurata non appena $f(x,y)$ è sufficientemente regolare).
Da questa pagina che amo citare ("Advice to young mathematicians" di G. Elencwajg): "Beware the illusion that nice general theorems are the ultimate goal in your subject".
Questo è un ottimo esempio. Non c'è "il" teorema di esistenza e unicità. Ce ne sono tanti, si possono organizzare le ipotesi in tante maniere possibili; si può, ad esempio, alleggerire un pochino l'ipotesi di lipschizianità, sostituirla con la continuità in una variabile, lipschitzianità nell'altra. Oppure si può richiedere qualcosa di più forte, rimpiazzare la lipschizianità con la liscezza, di classe C1, di classe C^infinito, etc...
Ognuna di queste formulazioni ha vantaggi e svantaggi. Non è efficiente memorizzarle tutte, o cercare di trovare la formulazione più generale possibile. Qui è obbligatorio citare Gian Carlo Rota, sezione 5: "Forget about existence and uniqueness of solutions"; lui addirittura propone di buttare il teorema alle ortiche, perché ha una utilità solo psicologica, non concreta. E ha ragione.
Le equazioni differenziali vanno studiate *sugli esempi*. Ogni equazione è un mondo a sé. Ci sono tratti comuni a tutte: il metodo di Picard o il metodo di Eulero, che si usano per dimostrare il teorema di esistenza e unicità, sono grandi idee. Quelle idee vanno capite. Non il teorema, quello è solo il prodotto finale.
Questo è un ottimo esempio. Non c'è "il" teorema di esistenza e unicità. Ce ne sono tanti, si possono organizzare le ipotesi in tante maniere possibili; si può, ad esempio, alleggerire un pochino l'ipotesi di lipschizianità, sostituirla con la continuità in una variabile, lipschitzianità nell'altra. Oppure si può richiedere qualcosa di più forte, rimpiazzare la lipschizianità con la liscezza, di classe C1, di classe C^infinito, etc...
Ognuna di queste formulazioni ha vantaggi e svantaggi. Non è efficiente memorizzarle tutte, o cercare di trovare la formulazione più generale possibile. Qui è obbligatorio citare Gian Carlo Rota, sezione 5: "Forget about existence and uniqueness of solutions"; lui addirittura propone di buttare il teorema alle ortiche, perché ha una utilità solo psicologica, non concreta. E ha ragione.
Le equazioni differenziali vanno studiate *sugli esempi*. Ogni equazione è un mondo a sé. Ci sono tratti comuni a tutte: il metodo di Picard o il metodo di Eulero, che si usano per dimostrare il teorema di esistenza e unicità, sono grandi idee. Quelle idee vanno capite. Non il teorema, quello è solo il prodotto finale.
Innanzitutto grazie a tutti per le cose molto interessanti che avete scritto!
In effetti ero partito da un'equazione un po' meno generale: l'equazione autonoma $y'(t) = b(y(t))$ con $b:RR^n \rightarrow RR^n$ campo vettoriale lipschitziano.
Mi sono chiesto se valevano esistenza e unicità locali (parlo di soluzioni di classe $C^1$).
Visto che la funzione $f(t,y)=b(y)$ è globalmente continua ed inoltre è localmente lipschitziana (in quanto lipschitziana) in y è garantita esistenza ed unicità locale.
Mi chiedo allora se esiste una soluzione definita globalmente su tutto $RR$.
Se non sbaglio "un" teorema di esistenza e unicità globale stabilisce che se $f(t,y)$ è globalmente continua e per ogni $t\inI$ la funzione $f(t,\cdot)$ è lipshitziana sui compatti di $I$ allora esiste una soluzione definita su tutto $I$. Ricordo male?
In tal caso avrei che $f(t,y)$ essendo globalmente continua e lipschitziana in $y$ soddisfa alle ipotesi del teorema e dunque esiste ed è unica la soluzione del problema di Cauchy.
Se il precedente ragionamento è corretto mi chiedo allora se è vero che le traiettorie $(t,y(t))$ delle soluzioni della mia equazione ricoprono tutto $RR \times RR^n$. Mi verrebbe da dire di si in quanto per ogni punto $(t_0,y_0) \in RR \times RR^n$ passa una soluzione globale. Sono caduto in qualche trappola?
In effetti ero partito da un'equazione un po' meno generale: l'equazione autonoma $y'(t) = b(y(t))$ con $b:RR^n \rightarrow RR^n$ campo vettoriale lipschitziano.
Mi sono chiesto se valevano esistenza e unicità locali (parlo di soluzioni di classe $C^1$).
Visto che la funzione $f(t,y)=b(y)$ è globalmente continua ed inoltre è localmente lipschitziana (in quanto lipschitziana) in y è garantita esistenza ed unicità locale.
Mi chiedo allora se esiste una soluzione definita globalmente su tutto $RR$.
Se non sbaglio "un" teorema di esistenza e unicità globale stabilisce che se $f(t,y)$ è globalmente continua e per ogni $t\inI$ la funzione $f(t,\cdot)$ è lipshitziana sui compatti di $I$ allora esiste una soluzione definita su tutto $I$. Ricordo male?
In tal caso avrei che $f(t,y)$ essendo globalmente continua e lipschitziana in $y$ soddisfa alle ipotesi del teorema e dunque esiste ed è unica la soluzione del problema di Cauchy.
Se il precedente ragionamento è corretto mi chiedo allora se è vero che le traiettorie $(t,y(t))$ delle soluzioni della mia equazione ricoprono tutto $RR \times RR^n$. Mi verrebbe da dire di si in quanto per ogni punto $(t_0,y_0) \in RR \times RR^n$ passa una soluzione globale. Sono caduto in qualche trappola?
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