Esistenza successione estratta infinitesima

[mbistato]

Ciao ragazzi, mi sono imbattuto in questo esercizio:
Supposto $f:[a,b]\to\mathbb{R}$ Riemann integrabile provare che per ogni successione $\{x_n\}$ contenuta in $[a,b]$ esiste $x_0\in [a,b]$ tale che la successione
$$\left\{\int\limits_{x_0}^{x_n}f(t)\ dt\right\}$$
ammetta una estratta infinitesima. Dire se il risultato vale anche nel caso in cui $f$ sia sommabile in un intervallo del tipo $[a,+\infty[$

Dato che $f$ e' integrabile secondo Riemann, so che la somma dei rettangoli superiori e quella dei rettangoli inferiori sono finite e coincidono.
Per provare che esiste una estratta infinitesima ho pensato di provare che esiste $x_0\in [a,b]$ tale che:
$$\lim_{n\to +\infty} \int\limits_{x_0}^{x_n}f(t)\ dt=0$$

Mi conviene fare cosi' oppure c'e' una strada piu' conveniente?

[vict85]

Sono sicuramente arrugginito con queste cose. Io partirei dal fatto che \([a,b]\) è compatto e che quindi \(\{x_n\}\) possiede sotto-successioni convergenti. Quindi puoi supporre che \(\{x_n\}\) sia convergente ad un certo \(x_{\infty}\). A questo punto penso basti dimostrare che gli integrali convergono.

Un altro approccio potrebbe essere quello di dimostrare che \(\int_c^d f(x)\,dx\mapsto C\) dove \(C\) è un compatto di \(\mathbb{R}\). A quel punto esiste una sotto-successione convergente di \(\{ \int_{x_0}^{x_n} f(t)\,dt \}\) e che il suo limite non può che essere 0 (cosa che devi dimostrare).

[marco2132k]

Potrei dire una scemenza, ma: come ha detto @vict85, una successione su [a,b] ammette sempre un'estratta convergente. Se \( (x_n) \) è la successione, e \( (x_{n(k)}) \) è l'estratta che converge, prendi \( x_0 := \lim_k x_{n(k)} \): non è ovvio che la successione degli \( \int_{x_0}^{x_n} f\, \mathrm{d}x \) ammette come estratta infinitesima la successione degli \( \int_{x_0}^{x_{n(k)}} f\, \mathrm{d}x \)?

Stai restringendo sempre più l'intervallo dove integri: è ovvio che prima o poi arrivi a zero.

Diverso e il riscorso se x_0 deve essere indipendente dalla successione. Io ho capito che "per ogni successione esiste x_0"... L'altra cosa non credo valga

[dissonance]

"marco2132k":
Diverso e il riscorso se x_0 deve essere indipendente dalla successione. Io ho capito che "per ogni successione esiste x_0"... L'altra cosa non credo valga

Si, \(x_0\) dipende da \(x_n\), a meno che \(f=0\) (quasi ovunque, ma questo lasciamolo correre) Se \(x_0\) fosse indipendente da \(x_n\), prendendo successioni costanti si arriva subito a dimostrare che \(\int_c^{x_0} f\, dt =0\) per ogni \(c\in [a,b]\), cosa che succede se e solo se \(f=0\).

In ogni modo, il caso \([a, b]\) è quello facile, piuttosto banalotto. L'esercizio diventa interessante su \([a, \infty)\)...

[vict85]

Siccome siamo in "Analisi Matematica di base" non correrei a dire che è banale. Al contrario per \([a,\infty[\) non è difficile trovare un controesempio (

cosa succede se \(\{x_n\}\) diverge?

).

Siccome non so se puoi usare il fatto topologico che ho segnalato, propongo una piccola variante.

Uso le seguente notazioni:

[*:3rp5jt78]\( d(I) = \int_I\,dt \);[/*:m:3rp5jt78]
[*:3rp5jt78]\( \mathfrak{M}(I) = (\sup_I f)d(I) \);[/*:m:3rp5jt78]
[*:3rp5jt78]\( \mathfrak{m}(I) = (\inf_I f)d(I) \).[/*:m:3rp5jt78][/list:u:3rp5jt78]
Nelle precedenti \(I\) è un qualsiasi intervallo contenuto in \([a,b]\).

Per ogni \(I\) hai che \(\mathfrak{m}(I) \le \int_I f\,dt\le \mathfrak{M}(I)\).

Ora voglio trovare un punto \(y_{\infty} \in [a,b]\), una successione \(\{I_j\}\) di sotto-intervalli di \([a,b]\) e una sotto-successione \(\{y_j\}\subset \{x_i\}\) tali che \(I_j \subset I_{j-1}\), \(2d(I_j) = d(I_{j-1})\), \(\cap_j I_j = [y_{\infty}, y_{\infty}]\) e \(\{y_j\}\to y_{\infty}\).

Prendo \(I_1 = [a,b]\) e \(y_1 = x_1\). Quindi divido \([a,b]\) in due metà uguali e seleziono come \(I_2\) quello dei due che contiene infiniti elementi. Se entrambi contengono infiniti elementi scelgo quello che è raggiunto prima dalla successione \(\{x_n\}_{n > 0}\). Se quel punto è in entrambi, allora scelgo quello più vicino ad \(a\). Quindi \(y_2\) è il primo elemento di \(\{x_n\}_{n > 1}\) che è in \(I_2\).
A questo punto, divido a metà I_2 e così dicendo per \(I_3\), \(I_4\)...

Per come è costruito, è evidente che \(\cap_j I_j\) si riduce ad un punto e che \(\{y_j\}\) converge a quello stesso punto. E con questo ho aggirato il risultato topologico che ho scritto prima.

Un problema ora, consiste nel fatto che \(y_{\infty}\) non è necessariamente prima di \(y_j\), quindi non vale direttamente \(\mathfrak{m}(I_j) \le \int_{y_{\infty}}^{y_j} f\,dt\le \mathfrak{M}(I_j)\) e non puoi neanche metterci un valore assoluto intorno perché la funzione potrebbe aver assunto valori negativi nell'intervallo. Quello che ti consiglierei io, è di trovare una ulteriore sotto-successione, tale che tutti gli elementi sono dallo stesso lato di \(y_{\infty}\) e volendo puoi anche modificare gli intervalli in modo che abbiano tutti \(y_{\infty}\) come uno degli estremi.

Ora tocca a te finirla.