Esistenza soluzione problema di Neumann
Buongiorno a tutti.
Recentemente sono incappato nel seguente problema:
Considerato il problema di Neumann
$ { ( - Delta u = f ),( (del u) / (del v) =0 ):} $
rispettivamente su E e su $ del E $ (insieme connesso, con $ f in L^2 $)
si chiede di mostrare che il problema ammette soluzione debole sse $ int_(E) f = 0 $ .
Non riesco a dimostrare l'implicazione verso sinistra..ho pensato di mostrare che la forma bilineare associata al problema è coerciva e continua (e in questo modo l'esistenza grazie a lax-milgram) ma sono bloccato.
C'è qualcuno che può aiutarmi?
Grazie, Arrigo
Recentemente sono incappato nel seguente problema:
Considerato il problema di Neumann
$ { ( - Delta u = f ),( (del u) / (del v) =0 ):} $
rispettivamente su E e su $ del E $ (insieme connesso, con $ f in L^2 $)
si chiede di mostrare che il problema ammette soluzione debole sse $ int_(E) f = 0 $ .
Non riesco a dimostrare l'implicazione verso sinistra..ho pensato di mostrare che la forma bilineare associata al problema è coerciva e continua (e in questo modo l'esistenza grazie a lax-milgram) ma sono bloccato.
C'è qualcuno che può aiutarmi?
Grazie, Arrigo
Risposte
$E$ è supposto limitato?
No, come ipotesi abbiamo solo che è un insieme connesso!
La forma bilineare in questione è la seguente:
B[u,v]= $ int_(E) nabla u nabla v - int_(E) fv $
con $ v in H^(1)(E) $
B[u,v]= $ int_(E) nabla u nabla v - int_(E) fv $
con $ v in H^(1)(E) $
Il problema con Lax-Milgram è che ti da una soluzione unica, invece qui non può essere unica siccome se $u$ è soluzione allora anche $u+K$, $K$ costante, è una soluzione. Forse bisogna lavora con un spazio quoziente, per esempio $\frac{H^1(E)}F$ dove $F$ è lo spazio delle funzioni constante.
E infatti è una strada, mi ricordo che le tecniche usuali per esistenza e unicità del problema di Dirichlet funzionano anche col problema di Neumann a patto di passare al quoziente.
Tagliamo la testa al toro e lavoriamo nel sottospazio di \(N\subseteq W^{1,2}(E)\) fatto dalla funzioni a media nulla?
Intendo il sotto spazio delle funzioni \(u\in W^{1,2}(E)\) tali che \(\intop_E u =0\).
Chiaramente l'unica funzione costante che qui dentro è la funzione nulla; d'altra parte in \(N\) è una rappresentazione del quoziente \(W^{1,2}/F\) suggerito da girdav: infatti, se \(u\in W^{1,2}(E)\), posto \(\bar{u}:=\frac{1}{|E|}\ \intop_E u\), si ha \(\tilde{u} :=u-\bar{u} \in N\), sicché ogni funzione di Sobolev ha un rappresentante in \(N\) rispetto alla relazione indotta da \(F\); d'altra parte se \(u,v\in W^{1,2}(E)\) sono \(F\)-equivalenti, i.e. se \(v=u+k\), allora \(\bar{v}=\bar{u}+k\) e perciò \(\tilde{v}=v-\bar{v}=u+k-\bar{u}-k=u-\bar{u}=\tilde{u}\).
Ora non è difficile provare che \(u\) risolve il problema se e solo se ogni \(v\in u+N\) risolve il problema, quindi non lede la generalità cercare soluzioni solo in \(N\).
Il sottospazio vettoriale \(N\) è chiuso, quindi mutua da \(W^{1,2}\) la struttura di spazio di Hilbert, quindi vale anche il teorema di Lax-Milgram.
Lascio a voi i dettagli.
P.S.: Quello di prendere le funzioni a media nulla è un trucco che funziona quasi sempre quando si ha a che fare con problemi di tipo Neumann.
Intendo il sotto spazio delle funzioni \(u\in W^{1,2}(E)\) tali che \(\intop_E u =0\).
Chiaramente l'unica funzione costante che qui dentro è la funzione nulla; d'altra parte in \(N\) è una rappresentazione del quoziente \(W^{1,2}/F\) suggerito da girdav: infatti, se \(u\in W^{1,2}(E)\), posto \(\bar{u}:=\frac{1}{|E|}\ \intop_E u\), si ha \(\tilde{u} :=u-\bar{u} \in N\), sicché ogni funzione di Sobolev ha un rappresentante in \(N\) rispetto alla relazione indotta da \(F\); d'altra parte se \(u,v\in W^{1,2}(E)\) sono \(F\)-equivalenti, i.e. se \(v=u+k\), allora \(\bar{v}=\bar{u}+k\) e perciò \(\tilde{v}=v-\bar{v}=u+k-\bar{u}-k=u-\bar{u}=\tilde{u}\).
Ora non è difficile provare che \(u\) risolve il problema se e solo se ogni \(v\in u+N\) risolve il problema, quindi non lede la generalità cercare soluzioni solo in \(N\).
Il sottospazio vettoriale \(N\) è chiuso, quindi mutua da \(W^{1,2}\) la struttura di spazio di Hilbert, quindi vale anche il teorema di Lax-Milgram.
Lascio a voi i dettagli.
P.S.: Quello di prendere le funzioni a media nulla è un trucco che funziona quasi sempre quando si ha a che fare con problemi di tipo Neumann.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo