Esistenza radice ennesima

[Silente]

Sto cercando di dimostrare che esiste sempre un x reale tale che \(\displaystyle x^n=a \), con n naturale e a reale positivo.

Ho cominciato considerando due insiemi:

\(\displaystyle X=\left \{ x \in \mathbb{R}_0^+| x^n \leq a \right \} \)

\(\displaystyle Y=\left \{ y \in \mathbb{R}_0^+| y^n \geq a \right \} \)

\(\displaystyle \mathbb{R}_0^+ \) è l'insieme dei reali positivi con lo zero.

X è non vuoto e limitato superiormente, Y è non vuoto e limitato inferiormente.
Esistono quindi il \(\displaystyle \sup X \) e l' \(\displaystyle \inf Y \).
Sono riuscito a dimostrare inoltre che \(\displaystyle x\leq y, \forall x \in X, \forall y \in Y \) da cui:
\(\displaystyle \sup X \leq \inf Y \).

A questo punto sfruttando il principio di Archimede è facile ricavare anche che:

\(\displaystyle \sup X = \inf Y =s_0 \).

Non riesco a fare l'ultimo passo, ovvero far vedere che \(\displaystyle s_0 \) appartiene sia a X che a Y, in modo da poter affermare che \(\displaystyle s_0^n=a \).

Qualche aiutino?

Grazie.

[Weierstress]

Non ti basta osservare che $X$ include l'estremo destro e $Y$ quello sinistro?

[Silente]

Si quello basterebbe, ma non riesco a dimostrare neanche questo.
Non riesco ad esempio a far vedere che \(\displaystyle (\sup X)^n \leq a \)...