Esistenza punti di massimo e minimo assoluti

[pikwik1]

Ho questo esercizio:

Data la funzione $f(x,y) = x^4+y^4-2*((x-y)^2)$

determinare, se esistono, i punti di massimo e minimo locali e assoluti.

Ho anche lo svolgimento, fatto dalla prof. Il problema è che non riesco a capire il ragionamento che c'è dietro. Nel testo dello svolgimento c'è scritto:

" Calcoliamo il $\lim_{(x,y) \to \infty} f(x,y)$ ;
passando in coordinate polari si ha $\lim_{rho \to \+infty} (rho^4)*[(cos(theta))^4 + (sin(theta))^4]-2*(rho)^2*((cos(theta)-sin(theta))^2) = +infty $ $AAtheta in [0,2pi]$.

Inoltre $(rho)^4*[(cos(theta))^4 + (sin(theta))^4]-2*(rho)^2*((cos(theta)-sin(theta))^2) >= m*(rho)^4 - 8*(rho)^2$ dove $m=min ((cos(theta))^4 + (sin(theta))^4)$.

Pertanto, dato che $\lim_{rho \to \+infty} m*(rho)^4 - 8*(rho)^2 = 0$ , il limite è uniforme rispetto a $theta$ e quindi $\lim_{(x'y) \to \infty} f(x,y) = +infty$.

Di conseguenza la funzione non ha massimo assoluto, ma ammette minimo assoluto". il resto dell'esercizio mi è chiaro ma questa parte del testo non riesco proprio a capirla. Potreste spiegarmela in maniera più chiara? Tra l'altro è un procedimennto che la prof ha usato anche in un esecizio con $f(x,y)=x^4+y^4+6*x^2*y^2-2x^2+2y^2$ . Nel caso ci fosse un procedimento alternativo per sapere a priori se max e min assoluti esistono, potreste spiegarmi anche quello? Grazie!!!

[Raptorista1]

Se la funzione diverge a \(+\infty\) non può avere massimo assoluto. È questo che ti turba?

[pikwik1]

Ti ringrazio per aver risposto, ma non è quello che mi turba. Sono riuscito a capire che la funzione non ha massimo assoluto proprio perchè il limite tende a $+infty$, e quindi è illimitata superiormente, ma non mi spiego come sia riuscita la prof a capire che c'è un minimo assoluto. Pensavo bastasse verificare lo stesso limite per $-infty$, cosa che ho fatto, e mi risulta che anche in quel caso sia $+infty$, quindi com'è possibile che ci sia un minimo assoluto? Come ha fatto a dedurlo?

[pikwik1]

Tra l'altro, sono sicuro che $lim_{rho \to \+infty} m*(rho)^4 - 8*(rho)^2 = 0$ non faccia zero ma $+infty$ , chiedo conferma. Comunque, anche se fosse+inf, non riesco lo stesso a capire come da tutto ciò si possa dedurre l'esistenza del minimo assoluto e da dove è sbucato quell' 8 che compare nel limite

[Raptorista1]

"pikwik":Pensavo bastasse verificare lo stesso limite per $-infty$, cosa che ho fatto, e mi risulta che anche in quel caso sia $+infty$, quindi com'è possibile che ci sia un minimo assoluto?

\(-\infty\) che cosa?? \(\rho \ge 0\), e in più dimensioni c'è solo l'infinito senza segno.

Sull'esistenza del minimo, se la funzione tende a \(+\infty\) quando \(\rho \to \infty\) allora fissato un certo \(M > 0\) l'insieme \(E := \{(x,y) : f(x,y) \le M\}\) è limitato, quindi è contenuto in un chiuso limitato (la chiusura di \(E\)), che è compatto (teorema di Heine-Borel) e quindi ammette minimo (teorema di Weierstrass).


Il limite che riporti fa \(+\infty\), è chiaramente un errore di scrittura.

[pikwik1]

Grazie, ora credo di aver capito