Esistenza Massim/min per sottoinsiemi chiusi e limitati di R

[Danying]

Salve;
Come da Titolo , Sto cercando una dimostrazione "se esiste" dell'esistenza di Massimimo e minimo per sottoinsiemi chiusi e limitati di R.

Ma non una qualsiasi;

Dal consulto di vari testi di analisi ho avuto modo di vedere che, tale risultato è espresso dal celeberrimo "Teorema di Weierstrass";
come noto quest'ultimo fa largo uso del concetto di "funzione" per spiegare/dimostrare tale risultato ;

A me serve invece una dimostrazione che non presenti il concetto di funzione ;
Ho provato a cercare anche in Rete ma nulla di soddisfacente;

Grazie per gli eventuali chiarimenti
Saluti!

[gugo82]

Beh, è una dimostrazione banalissima.

Sia \(X\) chiuso e limitato.
In tal caso \(-\infty <\inf X\leq \sup X<\infty\) (perché \(X\) è limitato).
Consideriamo l'estremo superiore e ragioniamo per assurdo; supposto che \(\sup X\notin X\), per le proprietà dell'estremo superiore allora \(\sup X\) sarebbe d'accumulazione per \(X\), ergo si avrebbe \(\sup X\in X\) (perché \(X\) è chiuso), il che è assurdo. Quindi \(\sup X\in X\) ed a fortiori \(\sup X=\max X\).
Funziona allo stesso modo per \(\inf X\).

[Danying]

Grazie per la tempestiva risposta Gugo ;
si in effetti (adesso che l'ho letta ed interpretata) niente di complicato, la copio subito negli appunti per eventuali approfondimenti