Esistenza locale e globale problema di Cauchy
Buondì a tutti! Ho questa eq. differenziale con annesso PDC parametrico:
Nel testo dell'esercizio viene richiesto di discutere prima l'esistenza e unicità locale, poi quella globale, senza specificare altro.
- Per il teorema di Peano si può dire subito che $ EE $ soluzione in un intorno $ I(x_0) $ , in quanto la funzione rispetta le condizioni richieste, in particolare è continua e definita in un aperto $ Asub RR^2 $.
- Per quanto riguarda l'unicità, applicando il teorema per come enunciato nel manuale di riferimento (Ferrario, Terracini) si richiede che $ f=f(x,y) $ sia continua e di classe $ C^1 $. Quindi $ (partialf)/(partial y) = sign(y)+1 $ che è costante per $ a != 0 $. Quindi con $ a != 0 $, $ EE! $ una soluzione del PDC in un $ I(x_0) $, $ forall x_0 in RR $.
- Per l'esistenza e unicità in grande devo avere che la $ f=f(x,y) $ e le sue derivate parziali rispetto a y siano continue in $ I xx RR $, inoltre queste ultime devono essere anche limitate. Sempre considerando $ a != 0 $ queste condizioni sono rispettate (?). Quindi $ EE! $ una soluzione globale del PDC in un qualsiasi intervallo $ I forall x_0 in RR $.
Di quest'ultima affermazione non sono per niente sicuro. Ho letto e riletto tutte le formulazioni possibili del teorema, credevo di averle comprese, ma evidentemente ho ancora qualche dubbio. In particolare a me pare impossibile che esista una soluzione globale in questo caso, anche perchè risolvendo l'equazione differenziale trovo che:
- $ y>0 rArr y(x)=e^(2x+c) $
- $ y<0 rArr y(x)=c $
La prima non mi sembra compatibile con l'esistenza globale. Qualche consiglio? Errori? Orrori? Ringrazio in anticipo chi mi aiuterà.
Marco
$ { ( y'=|y|+y ),( y_(x_0)=a ):} $
Nel testo dell'esercizio viene richiesto di discutere prima l'esistenza e unicità locale, poi quella globale, senza specificare altro.
- Per il teorema di Peano si può dire subito che $ EE $ soluzione in un intorno $ I(x_0) $ , in quanto la funzione rispetta le condizioni richieste, in particolare è continua e definita in un aperto $ Asub RR^2 $.
- Per quanto riguarda l'unicità, applicando il teorema per come enunciato nel manuale di riferimento (Ferrario, Terracini) si richiede che $ f=f(x,y) $ sia continua e di classe $ C^1 $. Quindi $ (partialf)/(partial y) = sign(y)+1 $ che è costante per $ a != 0 $. Quindi con $ a != 0 $, $ EE! $ una soluzione del PDC in un $ I(x_0) $, $ forall x_0 in RR $.
- Per l'esistenza e unicità in grande devo avere che la $ f=f(x,y) $ e le sue derivate parziali rispetto a y siano continue in $ I xx RR $, inoltre queste ultime devono essere anche limitate. Sempre considerando $ a != 0 $ queste condizioni sono rispettate (?). Quindi $ EE! $ una soluzione globale del PDC in un qualsiasi intervallo $ I forall x_0 in RR $.
Di quest'ultima affermazione non sono per niente sicuro. Ho letto e riletto tutte le formulazioni possibili del teorema, credevo di averle comprese, ma evidentemente ho ancora qualche dubbio. In particolare a me pare impossibile che esista una soluzione globale in questo caso, anche perchè risolvendo l'equazione differenziale trovo che:
- $ y>0 rArr y(x)=e^(2x+c) $
- $ y<0 rArr y(x)=c $
La prima non mi sembra compatibile con l'esistenza globale. Qualche consiglio? Errori? Orrori? Ringrazio in anticipo chi mi aiuterà.
Marco
Risposte
Per quanto riguarda esistenza, ok.
Per quanto riguarda unicità, la funzione al secondo membro della EDO, i.e. $f(x,y) := |y| + y$, è lipschitziana in $y$ uniformemente rispetto ad $x$ e sublineare; quindi unicità globale garantita per ogni coppia $(x_0,a)$ di condizioni iniziali.
Esplicitando $f$ troviamo $f(x,y) = \{ (2y , text(, se ) y >= 0), (0, text(, se ) y < 0) :}$, cosicché $f(x,y) > 0 <=> y > 0$ ed $f(x,y) = 0 <=> y <= 0$; ne consegue che non appena il grafico della soluzione massimale $y(x;x_0, a)$ entra nel semipiano $ y > 0$, la soluzione diventa strettamente crescente, mentre quando il grafico della soluzione è nel semipiano chiuso $y<=0$ , la soluzione è costante.
Da ciò segue che se $a<=0$ allora la soluzione $y(*;x_0,a)$ rimane costante e si ha $y(x;x_0,a)=a$ ovunque in $RR$; mentre se $a>0$ la soluzione massimale $y(*;x_0,a)$ è localmente uguale alla soluzione del p.d.C.:
\[
\begin{cases} y^\prime (x) = 2 y(x) \\ y(x_0) = a\end{cases}
\]
che è $a e^{2(x - x_0)}$ e dunque ovunque in $RR$ si verifica l’uguaglianza $y(x;x_0,a) = a e^(2(x - x_0))$.
Per quanto riguarda unicità, la funzione al secondo membro della EDO, i.e. $f(x,y) := |y| + y$, è lipschitziana in $y$ uniformemente rispetto ad $x$ e sublineare; quindi unicità globale garantita per ogni coppia $(x_0,a)$ di condizioni iniziali.
Esplicitando $f$ troviamo $f(x,y) = \{ (2y , text(, se ) y >= 0), (0, text(, se ) y < 0) :}$, cosicché $f(x,y) > 0 <=> y > 0$ ed $f(x,y) = 0 <=> y <= 0$; ne consegue che non appena il grafico della soluzione massimale $y(x;x_0, a)$ entra nel semipiano $ y > 0$, la soluzione diventa strettamente crescente, mentre quando il grafico della soluzione è nel semipiano chiuso $y<=0$ , la soluzione è costante.
Da ciò segue che se $a<=0$ allora la soluzione $y(*;x_0,a)$ rimane costante e si ha $y(x;x_0,a)=a$ ovunque in $RR$; mentre se $a>0$ la soluzione massimale $y(*;x_0,a)$ è localmente uguale alla soluzione del p.d.C.:
\[
\begin{cases} y^\prime (x) = 2 y(x) \\ y(x_0) = a\end{cases}
\]
che è $a e^{2(x - x_0)}$ e dunque ovunque in $RR$ si verifica l’uguaglianza $y(x;x_0,a) = a e^(2(x - x_0))$.
Grazie mille dall'aiuto Gugo!
E' proprio qui che mi perdo, mi sa che faccio confusione tra il concetto di funzione lipschitziana e la richiesta che la derivata sia continua e limitata. Da quel che ho capito, avere la derivata continua e limitata è condizione necessaria e sufficiente alla liptschitzianità globale di una funzione in un intervallo. Eppure la derivata di $f(x,y) := |y| + y$ in $a=0$ non è continua! Quindi o quello che ho letto a riguardo della condizione necessaria e sufficiente alla liptschitzianità globale è sbagliato, oppure (molto probabile) non ho capito nulla, o ancora devo applicare il teorema in altro modo, possibilmente con richieste meno "forti". Però sul libro è spiegata così, altre formulazioni non ne da. Ti dirò di più: anche negli appunti delle esercitazioni in casi di EDO simili con condizione $ y_(x_0)=0 $ semplicemente si affermava non si potesse applicare il Teorema e chiusa lì la questione. A me pare una risposta incompleta, soprattutto per quanto riguarda l' $EE!$ in piccolo.
Per il resto con la soluzione generale ed il grafico delle soluzioni (chiedeva di disegnare anche quello) mi ritrovo perfettamente, non che fosse difficile.
"gugo82":
...la funzione al secondo membro della EDO, i.e. $f(x,y) := |y| + y$, è lipschitziana in $y$ uniformemente rispetto ad $x$ e sublineare; quindi unicità globale garantita per ogni coppia $(x_0,a)$ di condizioni iniziali.
E' proprio qui che mi perdo, mi sa che faccio confusione tra il concetto di funzione lipschitziana e la richiesta che la derivata sia continua e limitata. Da quel che ho capito, avere la derivata continua e limitata è condizione necessaria e sufficiente alla liptschitzianità globale di una funzione in un intervallo. Eppure la derivata di $f(x,y) := |y| + y$ in $a=0$ non è continua! Quindi o quello che ho letto a riguardo della condizione necessaria e sufficiente alla liptschitzianità globale è sbagliato, oppure (molto probabile) non ho capito nulla, o ancora devo applicare il teorema in altro modo, possibilmente con richieste meno "forti". Però sul libro è spiegata così, altre formulazioni non ne da. Ti dirò di più: anche negli appunti delle esercitazioni in casi di EDO simili con condizione $ y_(x_0)=0 $ semplicemente si affermava non si potesse applicare il Teorema e chiusa lì la questione. A me pare una risposta incompleta, soprattutto per quanto riguarda l' $EE!$ in piccolo.
Per il resto con la soluzione generale ed il grafico delle soluzioni (chiedeva di disegnare anche quello) mi ritrovo perfettamente, non che fosse difficile.
"donzo93":
Da quel che ho capito, avere la derivata continua e limitata è condizione necessaria e sufficiente alla liptschitzianità globale di una funzione in un intervallo.
No, è solo sufficiente: $f(x)=|x|$ è Lipschitz ($||x_1|-|x_2|| \le|x_1-x_2|$) ma non è derivabile in $0$; il tuo caso è analogo.
"Luca.Lussardi":
No, è solo sufficiente: $f(x)=|x|$ è Lipschitz ($||x_1|-|x_2|| \le|x_1-x_2|$) ma non è derivabile in $0$; il tuo caso è analogo.
Ecco, ho appena scoperto di aver sprecato due giorni di vita. Sto preparando analisi 2 da non frequentante e su questi argomenti casca l'asino, e casca malissimo
. Quindi di fatto nel caso, ad esempio, di equazioni con modulo l'unico modo per essere sicuri, oltre a quello che si può intuire guardando la funzione, è verificare direttamente se è lipschitziana? Comunque ho capito perfettamente ora Gugo, quanto dicevi qui:
"Gugo82":
...la funzione al secondo membro della EDO, i.e. $f(x,y):=|y|+y$, è lipschitziana in $y$ uniformemente rispetto ad $x$ e sublineare; quindi unicità globale garantita per ogni coppia $(x_0,a)$ di condizioni iniziali.
senza neanche bisogno di utilizzare il teorema potevo notare che $ a=0 $ è sempre soluzione dell'eq differenziale indipendentemente da $ x_0 $. Per il resto andava verificato il teorema in altro modo.
@ donzo93: Ho fatto una piccola aggiunta:
che serve per far filare meglio la cosa… Ora ti spiego, così cerchiamo di non far cascare nessun asino, mulo o bardotto che sia.
L’ipotesi “secondo membro $C^1$ con derivata rispetto ad $y$ limitata” è un’ipotesi di comodo; in realtà, sviluppando la teoria ci si è resi conto che basta “secondo membro $C$ e localmente lipschitziano in $y$ uniformemente rispetto ad $x$” per avere esistenza ed unicità locali ed unicità del prolungamento massimale della soluzione locale. In questi casi si dice che c’è esistenza in piccolo e regime di unicità.
D’altra parte, si è poi visto che se si ha esistenza in piccolo e se il secondo membro è “sublineare rispetto ad $y$”, ossia se soddisfa una disuguaglianza del tipo $|f(x,y)| <= A(x) * |y| + B(x)$, allora la soluzione locale del p.d.C. ha un unico prolungamento globale, ossia definito sull’intervallo più grande possibile.
Nel tuo caso, hai praticamente tutto, perché il secondo membro, pur non essendo $C^1$ con derivata rispetto ad $y$ limitata, è continuo, globalmente lipschitziano in $y$ (uniformemente rispetto ad $x$) e sublineare in $y$… Quindi cosa vuoi più dalla vita? (cit.)
[…] e sublineare […]
che serve per far filare meglio la cosa… Ora ti spiego, così cerchiamo di non far cascare nessun asino, mulo o bardotto che sia.
L’ipotesi “secondo membro $C^1$ con derivata rispetto ad $y$ limitata” è un’ipotesi di comodo; in realtà, sviluppando la teoria ci si è resi conto che basta “secondo membro $C$ e localmente lipschitziano in $y$ uniformemente rispetto ad $x$” per avere esistenza ed unicità locali ed unicità del prolungamento massimale della soluzione locale. In questi casi si dice che c’è esistenza in piccolo e regime di unicità.
D’altra parte, si è poi visto che se si ha esistenza in piccolo e se il secondo membro è “sublineare rispetto ad $y$”, ossia se soddisfa una disuguaglianza del tipo $|f(x,y)| <= A(x) * |y| + B(x)$, allora la soluzione locale del p.d.C. ha un unico prolungamento globale, ossia definito sull’intervallo più grande possibile.
Nel tuo caso, hai praticamente tutto, perché il secondo membro, pur non essendo $C^1$ con derivata rispetto ad $y$ limitata, è continuo, globalmente lipschitziano in $y$ (uniformemente rispetto ad $x$) e sublineare in $y$… Quindi cosa vuoi più dalla vita? (cit.)
"gugo82":
… Quindi cosa vuoi più dalla vita? (cit.)
un Lucano, grazie
comunque grazie mille della spiegazione puntualissima e precisa, sei e siete troppo gentili. Purtroppo ho delle difficoltà a verificare le condizioni che mi hai detto, potrà sembrare strano, ma sono limiti miei, vedrò di applicarmi e superarli. Avete per caso qualche dispensa da consigliare sull'argomento? Ho trovato di tutto, ma ognuno sembra trattare queste cose in maniera leggermente diversa.
"donzo93":
ma ognuno sembra trattare queste cose in maniera leggermente diversa.
È vero. Anche io ci ho battuto la testa a lungo. Non ti preoccupare, è normale. Secondo me fai meglio a continuare sul manuale che ti hanno consigliato, poi ci sarà tempo per diventare bravi (come diceva un mio professore).
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