Esistenza limite con coefficienti di fourier
Stavo studiando L'esistenza di questo limite con qualche dubbio:
Con $ f in C^oo (RR) $ e $2pi-periodica$ e $c_k$ coefficienti di fourier di f.
$ lim_(n -> oo) (n^2 sin(1/n^2)sum_(k = n)^(oo)|c_k|^2) /(1/ncos(n^2+n)+pie^1/n+pi^(1/2)) $
$ = lim_( n -> oo)( sin(1/n^2)/(1/n^2)sum_(k = n)^(oo)|c_k|^2) /(1/ncos(n^2(1+0(1)))+pie^1/n+pi^(1/2)) $
facendo un cambio di variabili $t=1/n$
il limite diventa:
$ = lim_( t ->0) (sin(t^2)/(t^2)sum_(k = 1/t)^(oo)|c_k|^2) /(tcos((1/t)^2(1+0(1)))+pie^t+pi^(1/2)) $
poichè $ lim_( t ->0) sin(t^2)/(t^2)=1 $ e $ lim_( t ->0) tcos(1/t)^2=0 $ e $ lim_( t ->0) pie^(t)=pi $
Per cui mi rimane da ragionare su quella sommatoria dei coefficienti di fourier:
La prima cosa che mi è venuta in mente: f essendo prima di tutto continua e 2$pi$-periodica $ lim_( k ->oo) |c_k|=0 $ $(1)$ e
e che grazie al teorema (che mi sembra si chiami di Plancherel) $ sum_(k =-oo)^(oo) |c_k|^2<= ||f||_(L^2) $ (implica la $ (1)$)
Le funzioni inifinitamente differenziabilicredo non siano sempre in $L^2$ fourchè a supporto compatto.
Dopo questa parentesi, penso che $ lim_(n ->oo)sum_(k = n)^(oo) |c_k|^2 $ dovrebbe valere $0$, ed il limite esistere e valere anch'esso $0$.
Che mi sto perdendo sulle funzioni $C^oo$ o in generale?:)
Con $ f in C^oo (RR) $ e $2pi-periodica$ e $c_k$ coefficienti di fourier di f.
$ lim_(n -> oo) (n^2 sin(1/n^2)sum_(k = n)^(oo)|c_k|^2) /(1/ncos(n^2+n)+pie^1/n+pi^(1/2)) $
$ = lim_( n -> oo)( sin(1/n^2)/(1/n^2)sum_(k = n)^(oo)|c_k|^2) /(1/ncos(n^2(1+0(1)))+pie^1/n+pi^(1/2)) $
facendo un cambio di variabili $t=1/n$
il limite diventa:
$ = lim_( t ->0) (sin(t^2)/(t^2)sum_(k = 1/t)^(oo)|c_k|^2) /(tcos((1/t)^2(1+0(1)))+pie^t+pi^(1/2)) $
poichè $ lim_( t ->0) sin(t^2)/(t^2)=1 $ e $ lim_( t ->0) tcos(1/t)^2=0 $ e $ lim_( t ->0) pie^(t)=pi $
Per cui mi rimane da ragionare su quella sommatoria dei coefficienti di fourier:
La prima cosa che mi è venuta in mente: f essendo prima di tutto continua e 2$pi$-periodica $ lim_( k ->oo) |c_k|=0 $ $(1)$ e
e che grazie al teorema (che mi sembra si chiami di Plancherel) $ sum_(k =-oo)^(oo) |c_k|^2<= ||f||_(L^2) $ (implica la $ (1)$)
Le funzioni inifinitamente differenziabilicredo non siano sempre in $L^2$ fourchè a supporto compatto.
Dopo questa parentesi, penso che $ lim_(n ->oo)sum_(k = n)^(oo) |c_k|^2 $ dovrebbe valere $0$, ed il limite esistere e valere anch'esso $0$.
Che mi sto perdendo sulle funzioni $C^oo$ o in generale?:)
Risposte
c'è un errore nel limiti iniziali è scritto male scusate è $ pie^(1/n)$
Il cambiamento di variabile è inutile.
Guarda bene i vari addendi fattori del limite originario e comincia a farti un'idea.
E ricorda che la serie dei resti di una serie convergente è infinitesima.
Guarda bene i vari addendi fattori del limite originario e comincia a farti un'idea.
E ricorda che la serie dei resti di una serie convergente è infinitesima.
Sono un disastro un mio amico mi ha fatto notare che al numeratore c'è una somma e non un prodotto $ n^2sin(1/n^2)+sum_( k=n)^(oo)|c_k|^2 $ ,
per il resto hai ragione era completamente inutile il cambio di variabile.
Grazie per avermi ricordato questa cosa, quel resto è inifitesimo (termine generale è infinitesimo e la serie e convergente come dicevo sopra).
Per cui correzioni accettate, il limite esiste e vale $1/(pi+pi^(1/2))$
Mi dispiace per le scocciature e gli errori ciao!
per il resto hai ragione era completamente inutile il cambio di variabile.
Grazie per avermi ricordato questa cosa, quel resto è inifitesimo (termine generale è infinitesimo e la serie e convergente come dicevo sopra).
Per cui correzioni accettate, il limite esiste e vale $1/(pi+pi^(1/2))$
Mi dispiace per le scocciature e gli errori ciao!
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