Esistenza inversa locale
Ciao, amici! Se $f:A\subset\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n$, \(f\in C^1(A)\), ha jacobiano non nullo in $x_0\in A$ allora il teorema di inversione locale garantisce l'esistenza di un'inversa locale $f^{-1}$ definita e di classe $C^1$ in un un intorno di \(f(x_0)\).
Se invece lo jacobiano è nullo, si deve escludere l'esistenza di ogni inversa locale? Se sì, come si può dimostrare ciò?
$\infty$ grazie!
Se invece lo jacobiano è nullo, si deve escludere l'esistenza di ogni inversa locale? Se sì, come si può dimostrare ciò?
$\infty$ grazie!
Risposte
No: $f(x)=x^3$ ha derivata $0$ in $x=0$ ma è invertibile dappertutto. Diversa è la questione della regolarità dell'inversa.
Già! Io stavo cercando un controesempio con $A\subset\mathbb{R}^2$, ma basta questa semplice funzione per constatarlo. Grazie!!!!!
Un'osservazione: se lo jacobiano è nullo la funzione può essere invertibile, ma l'inversa non può essere differenziabile.
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