Esistenza integrale in s.g.
salve ho ancora un quesito da porvi.. un esercizio mi chiede "si stabilisca per quali \( \alpha \in\) $RR$ esiste l'integrale in senso generalizzato" \( \int_0^\infty\ x^\alpha e^{-x} \text{d} x \) come si procede??? ho notato che \( e^{-x}\) nell'intervallo è sempre minore o uguale a 1 e quindi pensavo di utilizzare il criterio del confronto ma non saprei bene da che parte incominciare grazie per l'aiuto 
Risposte
quella è la funzione \(\Gamma(\cdot)\):
\(\displaystyle\Gamma(a)=\int_0^\infty x^ae^{-x}\text dx\)
la \(\Gamma\) converge solo per i valori \(a>-1\) (poi si estende con altri metodi).
per mostrarlo, ti basta considerare l'integrale \(\displaystyle\int_0^1x^ae^{-x}\text dx\) (che è l'unico intervallo che ti crea problemi) che puoi risolvere col confronto.
\(\displaystyle\Gamma(a)=\int_0^\infty x^ae^{-x}\text dx\)
la \(\Gamma\) converge solo per i valori \(a>-1\) (poi si estende con altri metodi).
per mostrarlo, ti basta considerare l'integrale \(\displaystyle\int_0^1x^ae^{-x}\text dx\) (che è l'unico intervallo che ti crea problemi) che puoi risolvere col confronto.
"mattiarovere91":
salve ho ancora un quesito da porvi.. un esercizio mi chiede "si stabilisca per quali \( \alpha \in\) $RR$ esiste l'integrale in senso generalizzato" \( \int_0^\infty\ x^\alpha e^{-x} \text{d} x \) come si procede??? ho notato che \( e^{-x}\) nell'intervallo è sempre minore o uguale a 1 e quindi pensavo di utilizzare il criterio del confronto ma non saprei bene da che parte incominciare grazie per l'aiuto
$ \int_0^(+infty) x^\alpha e^{-x} dx $ esiste quando $ \int_0^1 x^\alpha e^{-x} dx $ e $ \int_1^(+infty) x^\alpha e^{-x} dx $ esistono tutt' e due .
- Quando $ x -> 0 $ abbiamo $ x^\alpha e^{-x} $ ~ $ x^\alpha $ .
Possiamo dunque precisare $ \alpha $ perché $ \int_0^1 x^\alpha e^{-x} dx $ esista ....
- Abbiamo sempre $ lim_{x->+infty } x^2* x^\alpha e^{-x} = 0 $ qualsiasi $ \alpha $ ,
dunque possiamo trovare $ A > 1 $ tale che se $ x >=A $ allora $ x^2* x^\alpha e^{-x} <= 1 $ e
$ x^\alpha e^{-x} <= \frac{1}{x^2} $ .
Ma , sappiamo che $ \int_A^(+infty) \frac{1}{x^2} dx $ esiste .
Finalmente , l'esistenza di $ \int_A^(+infty) x^\alpha e^{-x} dx $ e anche di $ \int_1^(+infty) x^\alpha e^{-x} dx $
è assicurata , qualsiasi $ \alpha $ .
Spero che l'esplicazione sia chiara (?)
"DMNQ":
[quote="mattiarovere91"]salve ho ancora un quesito da porvi.. un esercizio mi chiede "si stabilisca per quali \( \alpha \in\) $RR$ esiste l'integrale in senso generalizzato" \( \int_0^\infty\ x^\alpha e^{-x} \text{d} x \) come si procede??? ho notato che \( e^{-x}\) nell'intervallo è sempre minore o uguale a 1 e quindi pensavo di utilizzare il criterio del confronto ma non saprei bene da che parte incominciare grazie per l'aiuto
$ \int_0^(+infty) x^\alpha e^{-x} dx $ esiste quando $ \int_0^1 x^\alpha e^{-x} dx $ e $ \int_1^(+infty) x^\alpha e^{-x} dx $ esistono tutt' e due .
- Quando $ x -> 0 $ abbiamo $ x^\alpha e^{-x} $ ~ $ x^\alpha $ .
Possiamo dunque precisare $ \alpha $ perché $ \int_0^1 x^\alpha e^{-x} dx $ esista ....
- Abbiamo sempre $ lim_{x->+infty } x^2* x^\alpha e^{-x} = 0 $ qualsiasi $ \alpha $ ,
dunque possiamo trovare $ A > 1 $ tale che se $ x >=A $ allora $ x^2* x^\alpha e^{-x} <= 1 $ e
$ x^\alpha e^{-x} <= \frac{1}{x^2} $ .
Ma , sappiamo che $ \int_A^(+infty) \frac{1}{x^2} dx $ esiste .
Finalmente , l'esistenza di $ \int_A^(+infty) x^\alpha e^{-x} dx $ e anche di $ \int_1^(+infty) x^\alpha e^{-x} dx $
è assicurata , qualsiasi $ \alpha $ .
Spero che l'esplicazione sia chiara (?)
[/quote]ehm non tanto:D cioe... cosa succede se \( \alpha \) è maggiore di 0? oppure fra 0 e -1??
"mattiarovere91":
ehm non tanto:D cioe... cosa succede se \( \alpha \) è maggiore di 0? oppure fra 0 e -1??
1/ Studio di $ \int_0^1 x^\alpha e^{-x} dx $
- Quando $ 0< x <=1 $ abbiamo $ e^(-1) x^\alpha <= x^\alpha e^{-x} <= x^\alpha $ .
Se $ \alpha <-1 $ allora $ \int_0^1 e^(-1) x^\alpha dx = [ e^(-1)\frac{x^(\alpha+1)}{\alpha+1}]_(x->0)^(x=1) = +infty $
dunque $ \int_0^1 x^\alpha e^{-x} dx = +infty $
Se $ \alpha =-1 $ allora $ \int_0^1 e^(-1)x^\alpha dx = [e^(-1)ln(x)]_{x->0}^(x=1) = +infty $
dunque $ \int_0^1 x^\alpha e^{-x} dx = +infty $
Se $ \alpha > -1 $ allora $ \int_0^1 x^\alpha dx = [ \frac{x^(\alpha+1)}{\alpha+1}]_(x=0)^(x=1) = \frac{1}{\alpha+1} < +infty $ dunque $ \int_0^1 x^\alpha e^{-x} dx < +infty $
2/ Studio di $ \int_1^(+infty) x^\alpha e^{-x} dx $
Abbiamo sempre $ lim_{x->+infty } x^2* x^\alpha e^{-x} = 0 $ qualsiasi $ \alpha $ ,
dunque possiamo trovare $ A > 1 $ tale che se $ x >=A $ allora $ x^2* x^\alpha e^{-x} <= 1 $ e poi
$ x^\alpha e^{-x} <= \frac{1}{x^2} $ .
Ma $ \int_A^(+infty) \frac{1}{x^2} dx < +infty $ dunque $ \int_A^(+infty) x^\alpha e^{-x} dx < +infty $
e cosi $ \int_1^(+infty) x^\alpha e^{-x} dx < +infty $ qualsiasi $ \alpha $ .
3/ Conclusione :
a) Se $ \alpha <= -1 $ allora $ \int_0^(+infty) x^\alpha e^{-x} dx = +infty $
b) Se $ \alpha > -1 $ allora $ \int_0^(+infty) x^\alpha e^{-x} dx < +infty $
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