Esistenza globale e scelta della costante arbitraria
Buongiorno a tutti!
Mi trovo davanti al problema di dover calcolare le condizioni di esistenza globale per soluzioni di equazioni differenziali del primo ordine non lineari (es. di Bernoulli).
Sono in grado di ricavare agevolmente tale soluzione come funzione di x e C (costante di integrazione). Ma come discuto i valori di C che mi forniscono soluzione definita su tutto l'asse reale?
Se la domanda non risulta chiara, ho la possibilità di inserire un esempio.
Grazie per l'aiuto che, sono certo, non mancherà.
Mi trovo davanti al problema di dover calcolare le condizioni di esistenza globale per soluzioni di equazioni differenziali del primo ordine non lineari (es. di Bernoulli).
Sono in grado di ricavare agevolmente tale soluzione come funzione di x e C (costante di integrazione). Ma come discuto i valori di C che mi forniscono soluzione definita su tutto l'asse reale?
Se la domanda non risulta chiara, ho la possibilità di inserire un esempio.
Grazie per l'aiuto che, sono certo, non mancherà.
Risposte
Va bene, ecco l'esercizio...
L'equazione è \( \displaystyle {y}'=-{4}{{e}}^{{{4}{x}}}{y}-{{e}}^{{{8}{x}}}{{y}}^{{2}} \)
La soluzione che ottengo (penso che sia giusta) è \( \displaystyle {y}{\left({x}\right)}=\frac{{4}}{{{C}{{e}}^{{{{e}}^{{{4}{x}}}}}-{{e}}^{{{4}{x}}}-{1}}} \)
Come si imposta la discussione dei valori di C che rendono globale la soluzione trovata?
L'equazione è \( \displaystyle {y}'=-{4}{{e}}^{{{4}{x}}}{y}-{{e}}^{{{8}{x}}}{{y}}^{{2}} \)
La soluzione che ottengo (penso che sia giusta) è \( \displaystyle {y}{\left({x}\right)}=\frac{{4}}{{{C}{{e}}^{{{{e}}^{{{4}{x}}}}}-{{e}}^{{{4}{x}}}-{1}}} \)
Come si imposta la discussione dei valori di C che rendono globale la soluzione trovata?
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