Esistenza globale Cauchy
Ciao a tutti!
Ho ancora dei problemi ad applicare il teorema di esistenza di unicità globale ad un problema di Cauchy.
Il teorema dell'unicità locale ho capito come verificarlo, devo controllare che la funzione sia continua, che esista la derivata rispetto y e che essa sia continua nel dominio di f.. quindi che D e D' coincidano.
Per quanto riguarda invece l'esistenza globale non riesco a capire come si applica il teorema.. ad esempio:
Testo:
Si consideri il problema di Cauchy $y'=t(e^y − 2), y(0) = y_0$. Discutere, al variare di $y_0 in R$, l’applicabilità dei teoremi di esistenza e unicità locale e globale.
Soluzione:
Unicità locale.. la funzione è continua sia per $t>0$ che per $t<0$.. quindi dominio $R$
controllo la derivata rispetto ad $y$ e vedo che anch'essa è continua quindi $D=D'$ allora la soluzione esiste ed è unica.
Unicità globale.. io so dal teorema che
$|f(t,y)|<=K_1+k_2|y|$
Però non riesco a capire come fare per applicarlo alla funzione $y'$
Qualche suggerimento?
Grazie
Ciaoo!
Ho ancora dei problemi ad applicare il teorema di esistenza di unicità globale ad un problema di Cauchy.
Il teorema dell'unicità locale ho capito come verificarlo, devo controllare che la funzione sia continua, che esista la derivata rispetto y e che essa sia continua nel dominio di f.. quindi che D e D' coincidano.
Per quanto riguarda invece l'esistenza globale non riesco a capire come si applica il teorema.. ad esempio:
Testo:
Si consideri il problema di Cauchy $y'=t(e^y − 2), y(0) = y_0$. Discutere, al variare di $y_0 in R$, l’applicabilità dei teoremi di esistenza e unicità locale e globale.
Soluzione:
Unicità locale.. la funzione è continua sia per $t>0$ che per $t<0$.. quindi dominio $R$
controllo la derivata rispetto ad $y$ e vedo che anch'essa è continua quindi $D=D'$ allora la soluzione esiste ed è unica.
Unicità globale.. io so dal teorema che
$|f(t,y)|<=K_1+k_2|y|$
Però non riesco a capire come fare per applicarlo alla funzione $y'$
Qualche suggerimento?
Grazie
Ciaoo!
Risposte
La \(f(t,y)\) ha andamento esponenziale per fissato \(t\), quindi in generale l'andamento sottolineare non ce l'hai ed il teorema di esistenza globale è inapplicabile.
Tuttavia, si vede subito che una soluzione globale c'è ed è quella stazionaria, \(y^*(t)=\log 2\).
Se prendi \(y_0\neq \log 2\), allora il grafico della tua soluzione massimale \(y(t;y_0)\) non può intersecare quello di \(y^*(t)\) (verrebbe meno l'unicità locale), dunque hai sempre \(y(t;y_0) >\log 2\) oppure \(y(t;y_0)<\log 2\) a seconda che \(y_0>\log 2\) o \(y_0<\log 2\).
Ora, consideriamo una soluzione locale \(y(t)\) del PdC con dato iniziale \(y_0\). Per quanto detto sopra, la quantità \(e^{y(t)}-2\) è diversa da zero; conseguentemente puoi dividere per \(e^{y(t)}-2\) m.a.m. la EDO e trovare:
\[
\frac{y^\prime (t)}{e^{y(t)}-2} = t
\]
da cui, per integrazione definita:
\[
\int_{y_0}^{y(t)} \frac{1}{e^\eta -2}\ \text{d} \eta = \int_0^t \frac{y^\prime (\tau)}{e^{y(\tau)}-2}\ \text{d} \tau = \int_0^t \tau\ \text{d} \tau
\]
ossia:
\[
\frac{1}{2} \log |2-e^\eta| - \frac{1}{2}\ \eta\Big|_{y_0}^{y(t)} = \frac{1}{2}\ t^2
\]
da cui si ricava:
\[
\log \frac{|2-e^{y(t)}|}{e^{y(t)}} = t^2 +\log \frac{|2-e^{y_0}|}{e^{y_0}}
\]
cioè:
\[
\frac{|2-e^{y(t)}|}{e^{y(t)}} = \frac{|2-e^{y_0}|}{e^{y_0}}\ e^{t^2} \; .
\]
Da qui risolvi per \(y(t)\) separando i casi \(y_0>\log 2\) e \(y_0<\log 2\) e ottieni una forma esplicita per la soluzione locale intorno a \(0\).
Fatto ciò, se \(y(t;y_0)\) è la soluzione massimale del PdC con dato iniziale \(y_0\), allora essa coincide ovunque con la \(y(t)\) determinata in precedenza; quindi per stabilire il dominio di \(y(t;y_0)\) ti basta studiare quello massimale di \(y(t)\).
Tuttavia, si vede subito che una soluzione globale c'è ed è quella stazionaria, \(y^*(t)=\log 2\).
Se prendi \(y_0\neq \log 2\), allora il grafico della tua soluzione massimale \(y(t;y_0)\) non può intersecare quello di \(y^*(t)\) (verrebbe meno l'unicità locale), dunque hai sempre \(y(t;y_0) >\log 2\) oppure \(y(t;y_0)<\log 2\) a seconda che \(y_0>\log 2\) o \(y_0<\log 2\).
Ora, consideriamo una soluzione locale \(y(t)\) del PdC con dato iniziale \(y_0\). Per quanto detto sopra, la quantità \(e^{y(t)}-2\) è diversa da zero; conseguentemente puoi dividere per \(e^{y(t)}-2\) m.a.m. la EDO e trovare:
\[
\frac{y^\prime (t)}{e^{y(t)}-2} = t
\]
da cui, per integrazione definita:
\[
\int_{y_0}^{y(t)} \frac{1}{e^\eta -2}\ \text{d} \eta = \int_0^t \frac{y^\prime (\tau)}{e^{y(\tau)}-2}\ \text{d} \tau = \int_0^t \tau\ \text{d} \tau
\]
ossia:
\[
\frac{1}{2} \log |2-e^\eta| - \frac{1}{2}\ \eta\Big|_{y_0}^{y(t)} = \frac{1}{2}\ t^2
\]
da cui si ricava:
\[
\log \frac{|2-e^{y(t)}|}{e^{y(t)}} = t^2 +\log \frac{|2-e^{y_0}|}{e^{y_0}}
\]
cioè:
\[
\frac{|2-e^{y(t)}|}{e^{y(t)}} = \frac{|2-e^{y_0}|}{e^{y_0}}\ e^{t^2} \; .
\]
Da qui risolvi per \(y(t)\) separando i casi \(y_0>\log 2\) e \(y_0<\log 2\) e ottieni una forma esplicita per la soluzione locale intorno a \(0\).
Fatto ciò, se \(y(t;y_0)\) è la soluzione massimale del PdC con dato iniziale \(y_0\), allora essa coincide ovunque con la \(y(t)\) determinata in precedenza; quindi per stabilire il dominio di \(y(t;y_0)\) ti basta studiare quello massimale di \(y(t)\).
Ciao!
Grazie mille per la soluzione.
Adesso i passaggi mi sono più chiari.. però non ho ancora capito bene una cosa..
Quando nell'esercizio in generale mi si chiede di verificare l'unicità globale io devo calcolarmi la soluzione del PdC.. vedere se la soluzione che ottengo è la soluzione massimale.. allora posso concludere che essa coincide ovunque con la soluzione stazionaria e quindi il teorema di esistenza globale è verificato?
Se invece la soluzione massimale non coincide allora significa che il teorema non è verificato.
Grazie
Ciaoo
Grazie mille per la soluzione.
Adesso i passaggi mi sono più chiari.. però non ho ancora capito bene una cosa..
Quando nell'esercizio in generale mi si chiede di verificare l'unicità globale io devo calcolarmi la soluzione del PdC.. vedere se la soluzione che ottengo è la soluzione massimale.. allora posso concludere che essa coincide ovunque con la soluzione stazionaria e quindi il teorema di esistenza globale è verificato?
Se invece la soluzione massimale non coincide allora significa che il teorema non è verificato.
Grazie
Ciaoo
"floppyes":
Quando nell'esercizio in generale mi si chiede di verificare l'unicità globale io devo calcolarmi la soluzione del PdC.. vedere se la soluzione che ottengo è la soluzione massimale..
Non è detto.
Nel caso in esame, giacché il teorema di estensione non si applicava e poiché fare i conti era possibile (e semplice), potevi trovare esplicitamente la soluzione e ragionare di conseguenza.
Ma, in generale, non è possibile calcolare esplicitamente la soluzione di un PdC; quindi si ricorre al teorema di prolungamento che hai citato sopra, oppure si usa qualche altro trucco (diverso caso per caso).
"floppyes":
allora posso concludere che essa coincide ovunque con la soluzione stazionaria e quindi il teorema di esistenza globale è verificato?
Se invece la soluzione massimale non coincide allora significa che il teorema non è verificato.
Che c'entra la soluzione stazionaria?
Ciao!
Ok perfetto.. solo una cosa non ho ho ancora ben chiara: come si poteva giungere alla stessa conclusione senza trovare la soluzione ma applicando il teorema di prolungamento che ho riportato sopra?
Perchè solitamente ci viene sempre chiesto di applicare il teorema e trarre poi le conclusioni se c'è o meno l'esistenza globale. In questo caso in effetti i calcoli erano semplici e con qualche passaggio si riusciva a dimostrare.. ma nel caso mi chiedano di applicare il teorema come potevo verificarlo?
Grazie ancora
Ciao
Ok perfetto.. solo una cosa non ho ho ancora ben chiara: come si poteva giungere alla stessa conclusione senza trovare la soluzione ma applicando il teorema di prolungamento che ho riportato sopra?
Perchè solitamente ci viene sempre chiesto di applicare il teorema e trarre poi le conclusioni se c'è o meno l'esistenza globale. In questo caso in effetti i calcoli erano semplici e con qualche passaggio si riusciva a dimostrare.. ma nel caso mi chiedano di applicare il teorema come potevo verificarlo?
Grazie ancora
Ciao
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