Esistenza ed unicità soluzione eq differenziale
Nell'affrontare lo studio qualitativo della seguente equazione differenziale ho riscontrato dei problemi:
$ y'=y^2-{arctan x}^2 $
ho verificato l'esistenza ed unicità locale della soluzione, infatti la funzione $f(x,y)=y^2-{arctan x}^2$ è di classe $C^1$ su tutto $\mathbb R$ ed inoltre è localmente lipschitziana, in quanto preso un qualunque intervallo $(a,b)$ che la funzione $f(x,y)$ rispetta la seguente proprietà (fissato un x) :
$| y_1^2- {arctan x}^2 -y_2^2+ {arctan x}^2 |=|y_1^2-y_2^2| \leq L |y_1-y_2|$
dove $L$ è il massimo della derivata prima nell'intervallo $(a,b)$. A questo punto affinché la soluzione sia prolungabile su tutto $\mathbb R$ si dovrebbe trovare una successione di $P_n$ ed una di $Q_n$ tali che , per ogni compatto $K_n$ in $\mathbb R$ si abbia che $y^2-{arctan x}^2 \leq P_n+Q_n|y|$. Ora, la funzione arcotangente ovviamente non dà problemi essendo limitata, ma come è possibile dimostrare ciò? Grazie in anticipo!
$ y'=y^2-{arctan x}^2 $
ho verificato l'esistenza ed unicità locale della soluzione, infatti la funzione $f(x,y)=y^2-{arctan x}^2$ è di classe $C^1$ su tutto $\mathbb R$ ed inoltre è localmente lipschitziana, in quanto preso un qualunque intervallo $(a,b)$ che la funzione $f(x,y)$ rispetta la seguente proprietà (fissato un x) :
$| y_1^2- {arctan x}^2 -y_2^2+ {arctan x}^2 |=|y_1^2-y_2^2| \leq L |y_1-y_2|$
dove $L$ è il massimo della derivata prima nell'intervallo $(a,b)$. A questo punto affinché la soluzione sia prolungabile su tutto $\mathbb R$ si dovrebbe trovare una successione di $P_n$ ed una di $Q_n$ tali che , per ogni compatto $K_n$ in $\mathbb R$ si abbia che $y^2-{arctan x}^2 \leq P_n+Q_n|y|$. Ora, la funzione arcotangente ovviamente non dà problemi essendo limitata, ma come è possibile dimostrare ciò? Grazie in anticipo!
Risposte
(Studi Matematica a Pisa? Chi ha tenuto il corso?)
Secondo me sei fuori strada. Togliendo per un attimo quella arcotangente che serve solo a confondere, l'equazione $y'=y^2$ è proprio il primo degli esempi di equazione che presenta esplosione in tempo finito, visto che l'integrale generale è
$y(t)=\frac{1}{C - t}.$
Perché ti aspetti esistenza globale? Aggiungendo termini positivi, come l'arcotangente per $t>0$, la situazione puo' solo peggiorare.
Secondo me sei fuori strada. Togliendo per un attimo quella arcotangente che serve solo a confondere, l'equazione $y'=y^2$ è proprio il primo degli esempi di equazione che presenta esplosione in tempo finito, visto che l'integrale generale è
$y(t)=\frac{1}{C - t}.$
Perché ti aspetti esistenza globale? Aggiungendo termini positivi, come l'arcotangente per $t>0$, la situazione puo' solo peggiorare.
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