Esistenza ed unicità globale per sistemi del secondo ordine

[bartofra]

Ho il seguente sistema.

$\{(x' = x*(3-x-2*y)),(y'=y*(2-x-y)):}$ Devo dimostrare che, con (x0,y0) compreso in $[0,+infty)$ ogni soluzione è tale che $Tmax=+infty$.

Conosco il teorema di esistenza ed unicità globale. Questo si applica " abbastanza" facilmente nel caso di equazioni differenziali del primo ordine.

Nei sistemi del secondo ordine, non mi è molto chiaro che cosa devo fare. Nel mio caso:

considero $F(x,y)=x*(3-x-2*y) e G(x,y)=y*(2-x-y)$ A questo punto, devo dimostrare la sublinearità di F(x,y) e di G(x,y) ?

prima rispetto ad x e poi rispetto ad y prendendo di volta in volta x e y = costante?

Oppure devo considerare $dy/dx=F(x,y)=(y*(2-x-y))/(x*(3-x-2*y))$ e studiarne le ipotesi di sublinearità ?



Qualcuno puo aiutarmi?

[bartofra]

Per la

$\{(x' = x*(3-x-2*y)),(y'=y*(2-x-y)):}$
Io avrei pensato :

$F(x,y)= (x*(3-x-2*y), y*(2-x-y))$ Considero $ dy/dx=(y*(2-x-y))/(x*(3-x-2*y))$

Pongo x=a

$ |dy/dx|=|(y*(2-a-y))/(a*(3-a-2*y))|$

$= |(y^2+2*y-a*y)/(3*a-a^2-2*y)| <= K|y|$

Facendo variare $a$ in R+ dimostro che la soluzione (y) non puo crescere piu di tanto, e tanto meno tende a +inf per T->+inf.

Qualcuno puo darmi un suo parere ? Non sono sicuro di poter fare questo ragionamento



thanks