Esistenza e unicità soluzioni di un'equazione differeniale
ciao a tutti. Non so se il ragionamento che ho fatto su questa equazione differenziale è corretto e completo.
L'esercizio richiedere di studiare l'esistenza e l'unicità delle soluzioni locali del problema di Cauchy assegnato al variare di $ alpha in R $ e se possibile determinarle.
il problema di Cauchy è il seguente:
$ { ( y'=4xsqrt(y+3) ),( y(0)=alpha ):} $
io ho ragionato così:
1. $ dom f(x,y)=R \times (-3,+oo ) $ per cui se $ alpha >-3 $ le condizioni per l'unicità locale sono soddisfatte e quindi il problema di Cauchy ammette un'unica soluzione.
determino ora le soluzioni costanti che sono: $ y+3=0 rArr y=-3 $ che è soluzione del PdC se e solo se $ aplha=-3 $
2. a questo punto risolvo l'equzioni a variabili separabili la cui soluzione dovrebbe essere $ y= (x^2+sqrt(alpha+3))-3 $
so però che $ y>-3$ allora pongo la soluzione maggiore di -3 e ottengo che la x può variare su tutto l'asse reale e deve essere $ alpha >=-3 $
è corretto oppure manca qualcosa/c'è qualcosa di sbagliato? grazie 1000 in anticipo!
L'esercizio richiedere di studiare l'esistenza e l'unicità delle soluzioni locali del problema di Cauchy assegnato al variare di $ alpha in R $ e se possibile determinarle.
il problema di Cauchy è il seguente:
$ { ( y'=4xsqrt(y+3) ),( y(0)=alpha ):} $
io ho ragionato così:
1. $ dom f(x,y)=R \times (-3,+oo ) $ per cui se $ alpha >-3 $ le condizioni per l'unicità locale sono soddisfatte e quindi il problema di Cauchy ammette un'unica soluzione.
determino ora le soluzioni costanti che sono: $ y+3=0 rArr y=-3 $ che è soluzione del PdC se e solo se $ aplha=-3 $
2. a questo punto risolvo l'equzioni a variabili separabili la cui soluzione dovrebbe essere $ y= (x^2+sqrt(alpha+3))-3 $
so però che $ y>-3$ allora pongo la soluzione maggiore di -3 e ottengo che la x può variare su tutto l'asse reale e deve essere $ alpha >=-3 $
è corretto oppure manca qualcosa/c'è qualcosa di sbagliato? grazie 1000 in anticipo!
Risposte
Qualche precisazione:
1) Il dominio di \(\displaystyle f \) comprende anche \(\displaystyle y= -3 \)
2) L'unicità locale ce l'hai per \(\displaystyle \alpha > - 3\text { } \), e in tal caso la soluzione è
\(\displaystyle y=(x^2 + \sqrt {\alpha + 3})^2 -3 \)
Inoltre per \(\displaystyle \alpha = 3 \text { }\) se non ricordo male puoi dire che la soluzione esiste perché \(\displaystyle f(x,-3)=0 \text{ } \) (oppure perché è continua, è tipo un teorema di Peano), ma non che questa è l'unica soluzione in quanto non hai lipschitzianità locale! Per informazioni cercati il pennello di Peano.
Se non sai cosa sia una funzione lipschitziana la puoi googlare se ti interessa, altrimenti fai finta che abbia detto che localmente non ha derivata continua.
1) Il dominio di \(\displaystyle f \) comprende anche \(\displaystyle y= -3 \)
2) L'unicità locale ce l'hai per \(\displaystyle \alpha > - 3\text { } \), e in tal caso la soluzione è
\(\displaystyle y=(x^2 + \sqrt {\alpha + 3})^2 -3 \)
Inoltre per \(\displaystyle \alpha = 3 \text { }\) se non ricordo male puoi dire che la soluzione esiste perché \(\displaystyle f(x,-3)=0 \text{ } \) (oppure perché è continua, è tipo un teorema di Peano), ma non che questa è l'unica soluzione in quanto non hai lipschitzianità locale! Per informazioni cercati il pennello di Peano.
Se non sai cosa sia una funzione lipschitziana la puoi googlare se ti interessa, altrimenti fai finta che abbia detto che localmente non ha derivata continua.
ti ringrazio! si è vero c'è anche -3 ma intendevo il dominio di derivabilità (che ovviamente ho dimenticato di precisare per bene 
). comunque ssi l'abbiamo fatta la lipschitzianità! ancora grazie 1000!
). comunque ssi l'abbiamo fatta la lipschitzianità! ancora grazie 1000!
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