Esistenza e unicità per un'equazione integrale
[PhD SISSA 2000] Sia $K\in C([0,2])$ positiva, decrescente e tale che $K(0) =1$.
Dimostrare che per ogni $h \in C([0,1])$ esiste un'unica soluzione $u\in C([0,1]) $ all'equazione
$u(x) = h(x) + \int_0^1 K(x+y)u(y) dy $ $\quad \forall x\in [0,1]$.
Sono piuttosto in difficoltà con questo esercizio
...ho provato diverse strade ma si sono rivelate fallimentari. In spoiler trovate la mia idea principale:
Vi ringrazio in anticipo per qualsiasi aiuto
Dimostrare che per ogni $h \in C([0,1])$ esiste un'unica soluzione $u\in C([0,1]) $ all'equazione
$u(x) = h(x) + \int_0^1 K(x+y)u(y) dy $ $\quad \forall x\in [0,1]$.
Sono piuttosto in difficoltà con questo esercizio
...ho provato diverse strade ma si sono rivelate fallimentari. In spoiler trovate la mia idea principale:Vi ringrazio in anticipo per qualsiasi aiuto
Risposte
Io vedo due strade: Teorema dell'alternativa di Fredholm o Teorema del punto fisso di Banach. Nel secondo caso devi semplicemente dimostrare che, data \(f \in \mathcal{C}^0 ([0,1])\), l'operatore \(F: \mathcal{C}^0 ([0,1]) \to \mathcal{C}^0 ([0,1]) \) definito da \[F u(x) = f(x) + \int_0^1 K(x,y) u(y) \, dy \]è una contrazione, ricordando che \((\mathcal{C}^0 (K), \| \cdot \|_{\infty})\) è di Banach, e che nelle ipotesi date \(K\) è anche uniformemente continua. Per quanto riguarda Fredholm... provaci Devo ancora studiare quella parte di teoria, e quindi non so ancora bene come muovermi.
Devo ancora studiare quella parte di teoria, e quindi non so ancora bene come muovermi.
Grazie mille Delirium per i suggerimenti!
Proviamo prima con il Teorema delle Contrazioni. Nella notazione di Delirium ho
\[ F u(x) = h(x) + \int_0^1 K(x,y) u(y) \, dy \]
per ogni $u\in C([0,1])$. Voglio dimostrare che F è una contrazione, ossia è Lipschitziana con costante strettamente minore di 1, e inoltre che la costante di contrazione NON dipende da h.
Siano dunque $u,v\in C([0,1])$. Voglio dimostrare che
$$|| Fu - Fv||_{\infty} \leq \alpha ||u-v||_{\infty},$$
con $\alpha \in (0,1)$. Procediamo dunque:
$$|Fu(x) - Fv(x)| = |\int_0^1 K(x+y)(u(y)-v(y)) \, dy | \leq ||u-v||_{\infty} \int_0^1|K(x+y)| \, dy $$
e qui mi sono dovuto fermare in quanto l'integrale a secondo membro non è in generale strettamente minore di 1, nonostante le buone proprietà di $K$.
Non mi sembra sia possibile ottenere stime migliori, ma per favore controllate
A questo punto dobbiamo evocare il Teorema dell'alternativa di Fredholm (che a me fa sempre un po' paura, come una specie di demone
). Effettivamente questa sembra già da subito una buona strada; definendo l'operatore $T:C([0,1]) \to C([0,1])$ come:
$$Tu(x) = \int_0^1 K(x+y)u(y) \, dy $$
per ogni $u\in C([0,1])$ riscrivo l'equazione iniziale come
$$u(x) - Tu(x) = h(x).$$
Si noti che T è lineare e continuo; inoltre l'equazione omogenea associata all'equazione data è
\[ u(x) = Tu(x) = \int_0^1 K(x+y)u(y) \, dy = (K(-\cdot) * u)(x) \]
che non ha soluzione diversa da $u\equiv 0$; infatti è un fatto noto che l'unico elemento neutro per la convoluzione è la distribuzione $\delta_0$ che non è rappresentabile tramite una funzione di alcun tipo.
Resta da dimostrare che T è un'operatore compatto; se quest'asserto risulta vero, per l'alternativa di Fredholm esiste un'unica soluzione in $C([0,1])$ alla nostra equazione, per ogni dato $h\in C([0,1])$.
Sia dunque $B$ la palla unitaria in $C([0,1])$. Dobbiamo mostrare che $T(B)$ è totalmente limitato (preferisco questo termine a precompatto, che secondo me è fuorviante ) in $C([0,1])$. Per il teorema di Ascoli-Arzelà un sottoinsieme di $C([0,1])$ è tot. limitato se e solo se è una famiglia equicontinua di funzioni. Dimostriamo quest'ultimo fatto. Sia $u\in B$, cioè $||u||_{\infty}\leq 1$. Sia poi $x_0\in [0,1]$ arbitrario. Fisso anche $\epsilon >0$. Allora
$$|Tu(x) - Tu(x_0)| = |\int_0^1 K(x+y)u(y) dy - \int_0^1 K(x_0 + y)u(y) dy|\\ \leq \int_0^1 |K(x+y) - K(x_0 + y)| dy \, ||u||_{\infty}$$
Ora notiamo che $||u||_{\infty}\leq 1$ e che per $x$ sufficientemente vicino a $x_0$, $|K(x+y) - K(x_0 + y)|< \epsilon$ per continuità di $K$. A dire il vero, tale stima vale per ogni $x_0$ dato che $K$ è pure UNIFORMEMENTE continua su $[0,1]$. Da questo ne segue che $|Tu(x) - Tu(x_0)| \leq \epsilon$ per ogni $u\in B $, per ogni $x_0\in [0,1]$. Dunque $T(B)$ è una famiglia equicontinua di funzioni, come volevamo dimostrare.
Che ve ne pare?
Proviamo prima con il Teorema delle Contrazioni. Nella notazione di Delirium ho
\[ F u(x) = h(x) + \int_0^1 K(x,y) u(y) \, dy \]
per ogni $u\in C([0,1])$. Voglio dimostrare che F è una contrazione, ossia è Lipschitziana con costante strettamente minore di 1, e inoltre che la costante di contrazione NON dipende da h.
Siano dunque $u,v\in C([0,1])$. Voglio dimostrare che
$$|| Fu - Fv||_{\infty} \leq \alpha ||u-v||_{\infty},$$
con $\alpha \in (0,1)$. Procediamo dunque:
$$|Fu(x) - Fv(x)| = |\int_0^1 K(x+y)(u(y)-v(y)) \, dy | \leq ||u-v||_{\infty} \int_0^1|K(x+y)| \, dy $$
e qui mi sono dovuto fermare in quanto l'integrale a secondo membro non è in generale strettamente minore di 1, nonostante le buone proprietà di $K$.
Non mi sembra sia possibile ottenere stime migliori, ma per favore controllate
A questo punto dobbiamo evocare il Teorema dell'alternativa di Fredholm (che a me fa sempre un po' paura, come una specie di demone
). Effettivamente questa sembra già da subito una buona strada; definendo l'operatore $T:C([0,1]) \to C([0,1])$ come:$$Tu(x) = \int_0^1 K(x+y)u(y) \, dy $$
per ogni $u\in C([0,1])$ riscrivo l'equazione iniziale come
$$u(x) - Tu(x) = h(x).$$
Si noti che T è lineare e continuo; inoltre l'equazione omogenea associata all'equazione data è
\[ u(x) = Tu(x) = \int_0^1 K(x+y)u(y) \, dy = (K(-\cdot) * u)(x) \]
che non ha soluzione diversa da $u\equiv 0$; infatti è un fatto noto che l'unico elemento neutro per la convoluzione è la distribuzione $\delta_0$ che non è rappresentabile tramite una funzione di alcun tipo.
Resta da dimostrare che T è un'operatore compatto; se quest'asserto risulta vero, per l'alternativa di Fredholm esiste un'unica soluzione in $C([0,1])$ alla nostra equazione, per ogni dato $h\in C([0,1])$.
Sia dunque $B$ la palla unitaria in $C([0,1])$. Dobbiamo mostrare che $T(B)$ è totalmente limitato (preferisco questo termine a precompatto, che secondo me è fuorviante
) in $C([0,1])$. Per il teorema di Ascoli-Arzelà un sottoinsieme di $C([0,1])$ è tot. limitato se e solo se è una famiglia equicontinua di funzioni. Dimostriamo quest'ultimo fatto. Sia $u\in B$, cioè $||u||_{\infty}\leq 1$. Sia poi $x_0\in [0,1]$ arbitrario. Fisso anche $\epsilon >0$. Allora$$|Tu(x) - Tu(x_0)| = |\int_0^1 K(x+y)u(y) dy - \int_0^1 K(x_0 + y)u(y) dy|\\ \leq \int_0^1 |K(x+y) - K(x_0 + y)| dy \, ||u||_{\infty}$$
Ora notiamo che $||u||_{\infty}\leq 1$ e che per $x$ sufficientemente vicino a $x_0$, $|K(x+y) - K(x_0 + y)|< \epsilon$ per continuità di $K$. A dire il vero, tale stima vale per ogni $x_0$ dato che $K$ è pure UNIFORMEMENTE continua su $[0,1]$. Da questo ne segue che $|Tu(x) - Tu(x_0)| \leq \epsilon$ per ogni $u\in B $, per ogni $x_0\in [0,1]$. Dunque $T(B)$ è una famiglia equicontinua di funzioni, come volevamo dimostrare.
Che ve ne pare?
"Lumi":
Grazie mille Delirium per i suggerimenti!
Proviamo prima con il Teorema delle Contrazioni. Nella notazione di Delirium ho
\[ F u(x) = h(x) + \int_0^1 K(x,y) u(y) \, dy \]
per ogni $u\in C([0,1])$. Voglio dimostrare che F è una contrazione, ossia è Lipschitziana con costante strettamente minore di 1, e inoltre che la costante di contrazione NON dipende da h.
Siano dunque $u,v\in C([0,1])$. Voglio dimostrare che
$$|| Fu - Fv||_{\infty} \leq \alpha ||u-v||_{\infty},$$
con $\alpha \in (0,1)$. Procediamo dunque:
$$|Fu(x) - Fv(x)| = |\int_0^1 K(x+y)(u(y)-v(y)) \, dy | \leq ||u-v||_{\infty} \int_0^1|K(x+y)| \, dy $$
e qui mi sono dovuto fermare in quanto l'integrale a secondo membro non è in generale strettamente minore di 1, nonostante le buone proprietà di $K$.
Non mi sembra sia possibile ottenere stime migliori, ma per favore controllate
[...]
Per ora lascio Fredholm a qualcun'altro (magari ci torno tra qualche giorno). Secondo me tutto sta nel capire cosa si intenda con "decrescente" (mi pare di ricordare che la nomenclatura non è universale). Quando lo avevo risolto io, questo esercizio recava "strettamente decrescente" nella consegna. In tal caso si avrebbe \[\int_{0}^1 K(x+y) \, dy = \int_x^{x+1} K(z) \, dz \le \int_0^1 K(z) \, dz \] perché \(K\) è positiva e (strettamente) decrescente e inoltre \[\int_0^1 K(z) \, dz < 1\]dal momento che \(K(0)=1\), donde la tesi.
"Lumi":
[...] Si noti che T è lineare e continuo; inoltre l'equazione omogenea associata all'equazione data è
\[ u(x) = Tu(x) = \int_0^1 K(x+y)u(y) \, dy = (K(-\cdot) * u)(x) \]
che non ha soluzione diversa da $u\equiv 0$; infatti è un fatto noto che l'unico elemento neutro per la convoluzione è la distribuzione $\delta_0$ che non è rappresentabile tramite una funzione di alcun tipo. [...]
L'intuizione sul prodotto di convoluzione è notevole. Io avevo pensato di pervenire all'assurdo in questo modo: sia \(u \in \mathcal{C}^0 ([0,1])\) t.c. valga \[u(x) = Tu(x) = \int_0^1 K(x+y)u(y) \, dy\] e sia \(M\) il massimo di \(u\) su \([0,1]\), raggiunto nel punto \(x_0\); allora \[|u(x_0) | = |M| = \left| \int_0^1 K(x_0 +y)u(y) \, dy \right| \le |M| \int_0^1 |K(x_0 + y)| \, dy \]Ora, il testo che ho sottomano io vuole \(K\) strettamente decrescente; quindi se \(K(0)=1\), \[\int_0^1 |K(x_0 + y) | \, dy < 1\] donde si otterrebbe \( |M | < |M |\), assurdo. Ti torna?
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