Esistenza e unicità per il prob. di Cauchy

[Zayko]

Salve a tutti,
innanzitutto ci tengo a specificare che frequento un corso di fisica, quindi non mi sono date basi forti come è sicuramente per i matematici, ma provo comunque a fare del mio meglio per capire tutto. Ora, la dimostrazione dell'unicità e dell'esistenza delle soluzioni che trovo sul mio libro ( Enrico Giusti - Analisi II ) mi risulta particolarmente difficile non solo da capire, ma anche da visualizzare mentalmente ( non so se sia giusto, ma ho la brutta abitudine di voler visualizzare in testa ogni passaggio ed ogni formula, e in questo caso non ci sono ancora riuscito ).
Mi domando, esiste una dimostrazione intuitiva del teorema?
Inoltre, anche provando ( senza riuscirci ) a seguire la dimostrazione del libro, ho riscontrato alcune difficoltà nell'interpretare determinate cose, che sono poi le cose che mi hanno bloccato.
Innanzitutto: quello che viene definito integrale di Volterra, da quello che ho capito, è in sostanza un modo per scrivere il problema di Cauchy in una maniera diversa rispetto a quella "comunemente usata" ( il sistema ). Ma perché, se ad esempio la funzione f è appunto funzione delle variabili x ed y(x), l'integrale è scritto in dt utilizzando la variabile t?
La seconda cosa più che un dubbio è una riflessione: se prima di dimostrare l'esistenza della soluzione io impongo l'esistenza della derivata parziale di f rispetto ad y, non è già di per sé questa una causa diretta dell'esistenza della soluzione? Ovvero: se io mi muovo da y0 di un dy e la funzione f è "costretta a variare dalla mia imposizione", significa che una soluzione esiste in y0, ma anche in y0+dy, e anche in y0+2dy e così via, dato che io ho imposto che la derivata rispetto ad y esista e quindi che f in y(x,y+ndy) abbia una soluzione.

Grazie in anticipo per le risposte.

[sheldon1]

per la variabile t penso sia formalità, quando metti dentro al segno di integrale metti t e lasci x come un estremo di integrazione, per quanto riguarda l'esistenza della funzione dunque se f è continua allora esiste una soluzione quindi se esiste la derivata rispetto ad y allora esiste soluzione ma sta bene attento che questo ci dice che esiste ALMENO una soluzione, non una ed una sola!! per dimostrare una ed una sola prendi l'equazione di volterra abbiamo y=T(y) dove T è = yo+ integrale di f giusto? ho riscritto l'equazione di volterra definendo il nuovo operatore T quindi abbiamo y=T(y) ora se T è una contrazione allora esisterà unico y tale che soddisfa y=T(y) quindi l'equazione di volterra quindi il problema di cauchy e quindi esiste unica la soluzione! quindi il teorema di esistena e unicita si riduce a determinare le giuste ipotesi ad f affinche sia una contrazione e a dimostrare che T è una contrazione