Esistenza e unicità della sol. di un'eq. differenziale
Data l’equazione differenziale
$y'=|e^y-1|/(e^y)$
si discuta l'esistenza e l'unicità della soluzione.
Innanzitutto, abbiamo che:
$f(x,y)-=f(y):RR->RR_+$ t.c. $t->|e^y-1|/(e^y)$
è continua (Peano=>esistenza della sol.).
Cerco di applicare il teorema di esistenza e unicità globale di C.-L.:
non sono riuscito a trovare una (eventuale) maggiorazione che realizzi l'uniforme locale Lipschitzianeità risp. alla seconda variabile;
a questo punto ho pensato di utilizzare il comodo criterio per cui, se $f(x,y)$ è derivabile parzialmente rispetto alla variabile $y$ (overo se $f(y)$ è derivabile, non essendoci dipendenza da $x$) allora
($f$ è localmente unif. Lipschitziana risp. alla 2^ var.) $<=>$ ($EE M>0$ t.c. $AA y in RR:$ $|f'(y)|<=M$).
Nell'enunciare il criterio ho omesso il ruolo dei compatti di $RR$ dove "pescare le $x$" visto che $f$, nel nostro caso, non dipende da $x$.
Tale criterio,però, potrei utilizzarlo se $f$ fosse derivabile in $RR$; ma è chiaro che, essendoci quel valore assoluto, in $y=1$ la funzione $f$ della sola var. $y$ non è derivabile!
E' altrettanto evidente che $y(x)-=1$ è una sol. costante dell'eq. diff. data.
Inoltre si vede facilmente che per $AAy>0:$ $|f'(y)|<=1$; invece, per $y<0$, sup$|f'(y)|=+infty$.
Infine detto $U=RR-{0}$ aperto di $RR$, $f_1:U-RR$ è di classe $C^1$ e dunque vale il teorema di esistenza e unicità locale.
Fatte queste considerazioni, i miei dubbi sono:
-nel caso in cui ci siano problemi di derivabili per la seconda variabile, come in questo caso, ci sono speranze di esistenza e unicità globale (più che altro unicità, l'esistenza è un fatto assodato);
- si potrebbe concludere, sempre che significhi qualcosa, che per soluzioni positive vale l'unicità globale e per soluzioni negative solo quella locale??
- la sol. costante è unica??
- la distinzione tra sol. pos. e neg. al secondo punto ha un briciolo di senso? di solito per escludere l'ipotesi di soluzioni che assumono valori positivi in alcuni punti e negativi in altri si sfrutta l'unicità della sol., che in questo caso è proprio quello su cui ci stiamo interrogando!
- si può dire che, esclusa la sol. cost, per questa eq. diff vale sicuramente il teorema di es. e unicità locale??
Scusate per la banalità del problema proposto; probabilmente mi sto perdendo in un bicchier d'acqua! I "problemi" sulla y e non sulla x (spero si capisca cosa intendo rozzamente con questa espressione) mi hanno spiazzato! :S
Spero possiate darmi una mano!
Grazie per l'attenzione e per la pazienza.
$y'=|e^y-1|/(e^y)$
si discuta l'esistenza e l'unicità della soluzione.
Innanzitutto, abbiamo che:
$f(x,y)-=f(y):RR->RR_+$ t.c. $t->|e^y-1|/(e^y)$
è continua (Peano=>esistenza della sol.).
Cerco di applicare il teorema di esistenza e unicità globale di C.-L.:
non sono riuscito a trovare una (eventuale) maggiorazione che realizzi l'uniforme locale Lipschitzianeità risp. alla seconda variabile;
a questo punto ho pensato di utilizzare il comodo criterio per cui, se $f(x,y)$ è derivabile parzialmente rispetto alla variabile $y$ (overo se $f(y)$ è derivabile, non essendoci dipendenza da $x$) allora
($f$ è localmente unif. Lipschitziana risp. alla 2^ var.) $<=>$ ($EE M>0$ t.c. $AA y in RR:$ $|f'(y)|<=M$).
Nell'enunciare il criterio ho omesso il ruolo dei compatti di $RR$ dove "pescare le $x$" visto che $f$, nel nostro caso, non dipende da $x$.
Tale criterio,però, potrei utilizzarlo se $f$ fosse derivabile in $RR$; ma è chiaro che, essendoci quel valore assoluto, in $y=1$ la funzione $f$ della sola var. $y$ non è derivabile!
E' altrettanto evidente che $y(x)-=1$ è una sol. costante dell'eq. diff. data.
Inoltre si vede facilmente che per $AAy>0:$ $|f'(y)|<=1$; invece, per $y<0$, sup$|f'(y)|=+infty$.
Infine detto $U=RR-{0}$ aperto di $RR$, $f_1:U-RR$ è di classe $C^1$ e dunque vale il teorema di esistenza e unicità locale.
Fatte queste considerazioni, i miei dubbi sono:
-nel caso in cui ci siano problemi di derivabili per la seconda variabile, come in questo caso, ci sono speranze di esistenza e unicità globale (più che altro unicità, l'esistenza è un fatto assodato);
- si potrebbe concludere, sempre che significhi qualcosa, che per soluzioni positive vale l'unicità globale e per soluzioni negative solo quella locale??
- la sol. costante è unica??
- la distinzione tra sol. pos. e neg. al secondo punto ha un briciolo di senso? di solito per escludere l'ipotesi di soluzioni che assumono valori positivi in alcuni punti e negativi in altri si sfrutta l'unicità della sol., che in questo caso è proprio quello su cui ci stiamo interrogando!
- si può dire che, esclusa la sol. cost, per questa eq. diff vale sicuramente il teorema di es. e unicità locale??
Scusate per la banalità del problema proposto; probabilmente mi sto perdendo in un bicchier d'acqua! I "problemi" sulla y e non sulla x (spero si capisca cosa intendo rozzamente con questa espressione) mi hanno spiazzato! :S
Spero possiate darmi una mano!
Grazie per l'attenzione e per la pazienza.
Risposte
ciao per quato riguarda la prima domanda (non so se è valido in generale) ma in questo caso in un intorno di 0 si perde l'unicità e anzi si verifica un fenomeno particolare tale che ci sono infinite (con la potenza del continuo) soluzioni, detto pennello di peano.
Spiegato molto velocemente: puoi pensare di raccordare le "soluzioni negative con quelle positive con un pezzo lungo quanto vuoi di soluzione banale", oppure di raccordare il pezzo negativo con quello della sol banale oppuure quella banale con quello positivo, diciamo puoi fare un po quello che vuoi!! (Se magari trovi la soluzione esplicita e fai il grafico o ti aiuti con il disegno del campo vettoriale individuato da f è piu facile vederlo ma non so se hai fatto queste cose).
per quanto riguarda la seconda domanda perchè dovrebbero essere globali solo quelle positive? diciamo... al massimo l unica "propriamente" globale dovrebbe essere quella banale. Ma come ti ho spiegato prima in realta di sol globali ce ne sono infinite se pensi di raccordarle come detto sopra!!!
invece effettivamente la sol costante è unica ed è y=0.
il teorema di esistenza ed unicità locale vale nei due semipiani strettamente positivo e negativo e invece non vale in y_0=0.
secondo me devi capire bene la differenza fra equazione differenziale e problema di cauchy, che non sono proprio la stessa cosa. comunque se ti piace l'argomento (e non ti scoraggia leggere un po in inglese) sicuramente potrai trovare molte risposte e chiarimenti in un libro di G. Teschl che si chiama Ordinary differential equations and Dynamical systems che puoi scaricare direttamente dalla pagina web dell'autore gratuitamente. Guarda intorno a pag 35-45 e dovresti trovare proprio il problema dell'unicità e della prolungabilità.
Spiegato molto velocemente: puoi pensare di raccordare le "soluzioni negative con quelle positive con un pezzo lungo quanto vuoi di soluzione banale", oppure di raccordare il pezzo negativo con quello della sol banale oppuure quella banale con quello positivo, diciamo puoi fare un po quello che vuoi!! (Se magari trovi la soluzione esplicita e fai il grafico o ti aiuti con il disegno del campo vettoriale individuato da f è piu facile vederlo ma non so se hai fatto queste cose).
per quanto riguarda la seconda domanda perchè dovrebbero essere globali solo quelle positive? diciamo... al massimo l unica "propriamente" globale dovrebbe essere quella banale. Ma come ti ho spiegato prima in realta di sol globali ce ne sono infinite se pensi di raccordarle come detto sopra!!!
invece effettivamente la sol costante è unica ed è y=0.
il teorema di esistenza ed unicità locale vale nei due semipiani strettamente positivo e negativo e invece non vale in y_0=0.
secondo me devi capire bene la differenza fra equazione differenziale e problema di cauchy, che non sono proprio la stessa cosa. comunque se ti piace l'argomento (e non ti scoraggia leggere un po in inglese) sicuramente potrai trovare molte risposte e chiarimenti in un libro di G. Teschl che si chiama Ordinary differential equations and Dynamical systems che puoi scaricare direttamente dalla pagina web dell'autore gratuitamente. Guarda intorno a pag 35-45 e dovresti trovare proprio il problema dell'unicità e della prolungabilità.
http://i55.tinypic.com/2ccv76a.jpg
questo è il disegno del campo vettoriale individuato da f. una soluzione del pdc sarebbe la curva tangente in ogni punto a questo campo vettoriale e passante per le condizioni iniziali (x_0,y_0). Dove è garantita la lipschitzianità vuol dire che per ogni punto passa una e una sola curva cioè non ci sono frecce che si "scontrano", cioè le soluzioni non si possono mai superare diciamo, invece dove non è garantita (in 0) ci sono chiaramente le sol di sotto che intersecano la sol banale. questa è una spiegazione molto rozza ma forse ora è piu chiaro il discorso che ti ho fatto sui vari raccordi di soluzione
questo è il disegno del campo vettoriale individuato da f. una soluzione del pdc sarebbe la curva tangente in ogni punto a questo campo vettoriale e passante per le condizioni iniziali (x_0,y_0). Dove è garantita la lipschitzianità vuol dire che per ogni punto passa una e una sola curva cioè non ci sono frecce che si "scontrano", cioè le soluzioni non si possono mai superare diciamo, invece dove non è garantita (in 0) ci sono chiaramente le sol di sotto che intersecano la sol banale. questa è una spiegazione molto rozza ma forse ora è piu chiaro il discorso che ti ho fatto sui vari raccordi di soluzione
Guarda che la tua funzione [tex]$f(x,y)=e^{-y}|e^y-1|$[/tex] è localmente lipschitziana in [tex]$\mathbb{R}$[/tex].
Infatti, per fissati [tex]$y_1,y_2$[/tex] si ha:
[tex]$\left| e^{-y_1}|e^{y_1}-1|-e^{-y_2}|e^{y_2}-1|\right|=\left| |1-e^{-y_1}|-|1-e^{-y_2}|\right|$[/tex]
[tex]$\leq \left| (1-e^{-y_1})-(1-e^{-y_2})\right|$[/tex] (per la disuguaglianza triangolare inversa, i.e. [tex]$||a|-|b||\leq |a-b|$[/tex])
[tex]$=|e^{-y_2}-e^{-y_1}|$[/tex]
e la quantità all'ultimo membro, in ogni limitato, si maggiora con qualcosa del tipo [tex]$L|y_1-y_2|$[/tex] (perchè la funzione [tex]$e^{-y}$[/tex] è localmente lipschitziana).
P.S.: La soluzione costante è [tex]$y(x)=0$[/tex], non [tex]$y(x)=1$[/tex] come indicato nel primo post.
Infatti, per fissati [tex]$y_1,y_2$[/tex] si ha:
[tex]$\left| e^{-y_1}|e^{y_1}-1|-e^{-y_2}|e^{y_2}-1|\right|=\left| |1-e^{-y_1}|-|1-e^{-y_2}|\right|$[/tex]
[tex]$\leq \left| (1-e^{-y_1})-(1-e^{-y_2})\right|$[/tex] (per la disuguaglianza triangolare inversa, i.e. [tex]$||a|-|b||\leq |a-b|$[/tex])
[tex]$=|e^{-y_2}-e^{-y_1}|$[/tex]
e la quantità all'ultimo membro, in ogni limitato, si maggiora con qualcosa del tipo [tex]$L|y_1-y_2|$[/tex] (perchè la funzione [tex]$e^{-y}$[/tex] è localmente lipschitziana).
P.S.: La soluzione costante è [tex]$y(x)=0$[/tex], non [tex]$y(x)=1$[/tex] come indicato nel primo post.
vabbe allora se è loc lipschitziana non sono proprio da considerare le cose che ho detto prima scusate!
Grazie a tutti per le risposte.
Chiaramente la sol. cost. è $y-=0$, ho sbagliato a scrivere.
In effetti io non avevo escluso a priori di poter realizzare l'uniforme Lipschitzianeità, solo che non ero in grado di trovare una maggiorazione opportuna.
Alla luce di quello che scrive gugo82 c'è poco da dire: vale il teorema di esistenza e unicità globale!
Ancora grazie per i chiarimenti e grazie a drughe anche per la segnalazione del testo di Teschl.
Chiaramente la sol. cost. è $y-=0$, ho sbagliato a scrivere.
In effetti io non avevo escluso a priori di poter realizzare l'uniforme Lipschitzianeità, solo che non ero in grado di trovare una maggiorazione opportuna.
Alla luce di quello che scrive gugo82 c'è poco da dire: vale il teorema di esistenza e unicità globale!
Ancora grazie per i chiarimenti e grazie a drughe anche per la segnalazione del testo di Teschl.
Scusate, ho riletto attentamente il post di gugo82.
Benissimo, ma l'obiettivo non dovrebbe essere realizzare la locale uniforme Lipschitzianeità su ogni compatto in cui "pescare $x$" lasciando $y_1, y_2$ "libere" in $RR$?
Ovvero dobbiamo far vedere che
$AAJ sub RR$ sottointervallo compatto, $EEk>=0$ t.c. $AA x in J,$ $AAy_1,y_2 in RR: |f(x,y_1)-f(x,y_2)|=|f(y_1)-f(y_2)|<=k|y_1-y_2|$.
Ora, nel nostro caso, della "località" non dobbiamo preoccuparci non essendoci dipendenza da $x$; dobbiamo però occuparci di trovare un certo $k$ che renda la funzione della sola variabile $y$ Lipschitziana e non localmente tale ($AAy_1,y_2 in RR$...).
O sbaglio?
la quantità all'ultimo membro, in ogni limitato, si maggiora con qualcosa del tipo (perchè la funzione è localmente lipschitziana)
Benissimo, ma l'obiettivo non dovrebbe essere realizzare la locale uniforme Lipschitzianeità su ogni compatto in cui "pescare $x$" lasciando $y_1, y_2$ "libere" in $RR$?
Ovvero dobbiamo far vedere che
$AAJ sub RR$ sottointervallo compatto, $EEk>=0$ t.c. $AA x in J,$ $AAy_1,y_2 in RR: |f(x,y_1)-f(x,y_2)|=|f(y_1)-f(y_2)|<=k|y_1-y_2|$.
Ora, nel nostro caso, della "località" non dobbiamo preoccuparci non essendoci dipendenza da $x$; dobbiamo però occuparci di trovare un certo $k$ che renda la funzione della sola variabile $y$ Lipschitziana e non localmente tale ($AAy_1,y_2 in RR$...).
O sbaglio?
Sbagli.
La "località" è in $y$, l'uniformità è in $x$.
Se il secondo membro non dipende da $x$, l'uniformità è ovviamente automatica. Basta dunque la locale lipschitzianità in $y$, come già indicato da gugo.
La "località" è in $y$, l'uniformità è in $x$.
Se il secondo membro non dipende da $x$, l'uniformità è ovviamente automatica. Basta dunque la locale lipschitzianità in $y$, come già indicato da gugo.
"Rigel":
Sbagli.
La "località" è in $y$, l'uniformità è in $x$.
Se il secondo membro non dipende da $x$, l'uniformità è ovviamente automatica. Basta dunque la locale lipschitzianità in $y$, come già indicato da gugo.
Permettimi di dissentire. Nelle ipotesi del teorema di es. e unicità globale di C.-L., con la richiesta di locale uniforme Lipschitzianeità si intende:
- "località": $AA J sub I$ compatto(ove $I$ è l'intervallo in cui "vive" la prima variabile, $x$, di f; nel nostro caso è$RR$);
- uniformità: $EE k>0$ che non dipende da $x$ ($k=k(J)$ se vogliamo)
tale che $AA x in J$, $AA y in RR$, $AA z in RR:$ $|f(x,y)-f(x,z)|<=k|y-z|$.
I compatti locali sono "ambienti in cui vive $x$", la "località" dev'essere su $x$ e non su $y$; nel nostro caso non essendoci dipendenza da x, la condizione mi sembra si riduca a verificare la Lipschitzianeità di $f(y)$.
Stavo pensando, se quello che ho osservato è corretto, posso ragionare come segue:
- per $y>0$ $f(y)$ è derivabile e ha derivata limitata, quindi Lipsch. su $RR_+$ e questo non mi dice altro;
- per $y<0$ $f(y)$ è derivabile e non ha derivata limitata, quindi non è Lipsch. su $RR_-$ $=>$ $f(y)$ non è Lipsch. su $RR$ $=>$ non vale il teorema di esistenza e unicità globale su $RR$.
Ci sarebbe da ragionare sull'unicità di soluzioni locali.
A supporto di quest'ultimo ragionamento, vi propongo un altro esempio trovato nei miei appunti.
Si consideri il seguente p. d. C.:
$y'=3/2 * |y|^(1/3)$ $(x in RR)$
$y(0)=0$
$f(x,y):RR times RR->RR$ ($f(x,y)-=f(y):RR->RR$) è continua;
per $y>0$ è derivabile rispetto a $y$ e $(partialf)/(partialy) (x,y)=1/2*1/(y^(2/3))$.
Poiché $lim_(y->0)1/2*1/(y^(2/3))=+infty$, f(x,y) non è lipsch. su $RR_+$ $=>$ $f(x,y)$ non è lipsch. su $RR$.
Non siamo nelle ipotesi del teorema di esistenza e unicità di sol. globali.
La funzione $y_1(x)=0$ è evidentemente soluzione del p. d. C..
Si consideri la funzione $y_2(x):RR->RR$ tale che $AA x in RR:$ $y_2(x)=x*|x|^(1/2)={(x^(3/2),if x>=0),(-(-x)^(3/2),if x<0):}$.
$y_2$ è derivabile anche in $0$ (in $R-{0}$ è ovvio), infatti:
$(y_2(x)-y_2(0))/(x-0)=(x*|x|^(1/2))/x=|x|^(1/2)->_(x->0)0=y_2'(0)$
Abbiamo trovato così due sol. del nostro p. d. C. (infatti non vale il teorema di es. e unicità globale!).
Non vorrei sembrare arrogante, vi assicuro che sono soltanto molto confuso! Attendo altri vostri interventi.
Ri-grazie per la pazienza!
Quando si parla di unicità si parla (sempre) di unicità locale.
Riguardo gli aggettivi "locale" e "uniforme", è poco importante stabilire a chi sono riferiti, purché le ipotesi siano corrette.
Data $f: \Omega\to\mathbb{R}^n$, con $\Omega\subset\mathbb{R}^{n+1}$ continua, le ipotesi classiche del teorema di esistenza e unicità locale per il problema di Cauchy in $(x_0, y_0)\in\Omega$ richiedono che esista un "rettangolo" (o meglio un cilindro) compatto $I\times J\subset\Omega$, con $I=[x_0-a, x_0+a]$, $J= \overline{B}_r(y_0)$, ed $L> 0$ tali che
$|f(x,y) - f(x,z)|\le L |x-z|$ per ogni $x\in I$ e $y,z\in J$.
Nel cilindro $I\times J$ la funzione deve quindi essere (come dici tu) Lipschitziana rispetto a $y$ uniformemente per $x\in I$ (per questo dicevo che "uniforme" è riferito alla variabile $x$).
Perché si parla di "locale" Lipschitzianità, allora? Per il semplice motivo che anche il compatto $J$ in cui vive la $y$ viene scelto da te; di norma, quando una proprietà vale per ogni compatto contenuto nell'insieme di partenza si dice che tale proprietà vale localmente.
Nell'esempio da te riportato la funzione non è nemmeno localmente Lipschitziana in un intorno di $y=0$.
Nell'esempio riportato da haterofman, invece, la funzione è Lipschitziana in $y$ in ogni compatto $J\subset\mathbb{R}$ (o, come si dice, è localmente Lipschitziana); sono dunque soddisfatte le ipotesi del teorema di esistenza e unicità locale.
Riguardo gli aggettivi "locale" e "uniforme", è poco importante stabilire a chi sono riferiti, purché le ipotesi siano corrette.
Data $f: \Omega\to\mathbb{R}^n$, con $\Omega\subset\mathbb{R}^{n+1}$ continua, le ipotesi classiche del teorema di esistenza e unicità locale per il problema di Cauchy in $(x_0, y_0)\in\Omega$ richiedono che esista un "rettangolo" (o meglio un cilindro) compatto $I\times J\subset\Omega$, con $I=[x_0-a, x_0+a]$, $J= \overline{B}_r(y_0)$, ed $L> 0$ tali che
$|f(x,y) - f(x,z)|\le L |x-z|$ per ogni $x\in I$ e $y,z\in J$.
Nel cilindro $I\times J$ la funzione deve quindi essere (come dici tu) Lipschitziana rispetto a $y$ uniformemente per $x\in I$ (per questo dicevo che "uniforme" è riferito alla variabile $x$).
Perché si parla di "locale" Lipschitzianità, allora? Per il semplice motivo che anche il compatto $J$ in cui vive la $y$ viene scelto da te; di norma, quando una proprietà vale per ogni compatto contenuto nell'insieme di partenza si dice che tale proprietà vale localmente.
Nell'esempio da te riportato la funzione non è nemmeno localmente Lipschitziana in un intorno di $y=0$.
Nell'esempio riportato da haterofman, invece, la funzione è Lipschitziana in $y$ in ogni compatto $J\subset\mathbb{R}$ (o, come si dice, è localmente Lipschitziana); sono dunque soddisfatte le ipotesi del teorema di esistenza e unicità locale.
Se si parla di esistenza e unicità locale sono d'accordo con quello che dici.
Ma chi l'ha detto che si parla sempre di unicità locale? Se esiste un teorema di esistenza e unicità globale un motivo ci sarà!
Siccome la traccia mi richiedeva di studiare l'esistenza e l'unicità di soluzioni mi sembrava doveroso interrogarmi anche sull'eventuale esistenza di soluzioni globali.
Conclusione: l'eq. differenziale oggetto del mio post non soddisfa le ipotesi di esistenza e unicità globale, ma (in base all'osservazione di gugo) è nelle ipotesi di esistenza e unicità locale.
Giusto?
Ma chi l'ha detto che si parla sempre di unicità locale? Se esiste un teorema di esistenza e unicità globale un motivo ci sarà!
Siccome la traccia mi richiedeva di studiare l'esistenza e l'unicità di soluzioni mi sembrava doveroso interrogarmi anche sull'eventuale esistenza di soluzioni globali.
Conclusione: l'eq. differenziale oggetto del mio post non soddisfa le ipotesi di esistenza e unicità globale, ma (in base all'osservazione di gugo) è nelle ipotesi di esistenza e unicità locale.
Giusto?
"haterofman":
Se si parla di esistenza e unicità locale sono d'accordo con quello che dici.
Ma chi l'ha detto che si parla sempre di unicità locale? Se esiste un teorema di esistenza e unicità globale un motivo ci sarà!
Supponi che la tua funzione $f:\Omega\to\mathbb{R}^n$ soddisfi, per ogni dato $(x_0,y_0)\in\Omega$, le ipotesi del teorema di esistenza ed unicità locale.
Sei in grado di costruire, per un dato problema di Cauchy, due soluzioni differenti globalmente (a meno del dominio, si intende)?
Il teorema di esistenza ed unicità globale dovrebbe, più correttamente, essere chiamato teorema di unicità e di esistenza globale, dove "globale" è riferito solo ad "esistenza".
"Rigel":Sono proprio d'accordo. Più in generale io credo che spesso, nei nostri corsi, non ci sia un buon metodo e un buon linguaggio per spiegare questi concetti delle equazioni differenziali ordinarie (e questo, ovviamente, è riferito alla mia esperienza e a ciò che ho letto sugli appunti visti in rete).
Il teorema di esistenza ed unicità globale dovrebbe, più correttamente, essere chiamato teorema di unicità e di esistenza globale, dove "globale" è riferito solo ad "esistenza".
@haterofman: In questo capisco i tuoi dubbi, sono stati gli stessi anche miei, e sono dovuti ad una certa farraginosità del corso che abbiamo seguito. Troppa attenzione ai dettagli tecnici (la lipschitzianità nel complesso della seconda variabile, uniforme rispetto alla prima sulle parti compatte di $J$... solo per dirlo ci vuole mezz'ora) e poi le idee di base non si comprendono bene. E' un corso che ti dà tanto, comunque. Da lì impari ad essere veramente preciso nel ragionamento e nel linguaggio. Dopo aver fatto l'esame, se vuoi accettare un consiglio, prova a ristudiarti l'argomento da un libro meno fiscale, per esempio io ho trovato interessante il Pagani-Salsa vol. II. E' simpatica a livello intuitivo anche l'introduzione che trovi qui: http://tutorial.math.lamar.edu/Classes/ ... Basic.aspx
Forse ha ragione dissonance nel dire che i dettagli tecnici spesso oscurano le idee, che in questo caso sono abbastanza semplici.
Rimaniamo in ipotesi classiche, vale a dire $f:\Omega\to\mathbb{R}^n$ continua, $\Omega\subset\mathbb{R}^{n+1}$ aperto.
1) Per dimostrare l'esistenza locale si usa solo il fatto che $f$ è localmente limitata (fatto che discende immediatamente dalla continuità).
Questo ci permette infatti di costruire soluzioni approssimate (ad es. spezzate di Eulero, oppure le solite iterazioni dell'operatore di Volterra) che, per il teorema di Ascoli-Arzelà, formano un insieme relativamente compatto in $C^0(I)$, con $I$ opportuno intorno compatto di $x_0$.
2) L'esistenza globale è invece un problema di prolungamento della soluzione. Per questo basta sapere che, ragionando in avanti, la soluzione è prolungabile su tutto $[x_0,+\infty)$ oppure esiste un tempo massimale $T > x_0$ tale che la soluzione, per $t\to T^-$, (a) "esplode", oppure (b) va a "sbattere" contro $\partial\Omega$. Non ci sono altre alternative.
Se $f$ è definita su tutto $\mathbb{R}^{n+1}$ l'unica possibilità per non avere una soluzione definita per ogni tempo è che questa esploda in tempo finito.
A sua volta l'esplosione in tempo finito è possibile solo se $f$ cresce abbastanza rapidamente in $y$ quando $|y|\to +\infty$; da qui il noto criterio di esistenza globale per le funzioni sublineari in $y$.
3) L'unicità è invece un problema di "biforcazione" delle soluzioni, cosa possibile solo se, in un dato punto, il campo ha una crescita locale molto rapida (cosa impossibile se $f$ è Lipschitziana rispetto a $y$, uniformemente etc etc etc).
Rimaniamo in ipotesi classiche, vale a dire $f:\Omega\to\mathbb{R}^n$ continua, $\Omega\subset\mathbb{R}^{n+1}$ aperto.
1) Per dimostrare l'esistenza locale si usa solo il fatto che $f$ è localmente limitata (fatto che discende immediatamente dalla continuità).
Questo ci permette infatti di costruire soluzioni approssimate (ad es. spezzate di Eulero, oppure le solite iterazioni dell'operatore di Volterra) che, per il teorema di Ascoli-Arzelà, formano un insieme relativamente compatto in $C^0(I)$, con $I$ opportuno intorno compatto di $x_0$.
2) L'esistenza globale è invece un problema di prolungamento della soluzione. Per questo basta sapere che, ragionando in avanti, la soluzione è prolungabile su tutto $[x_0,+\infty)$ oppure esiste un tempo massimale $T > x_0$ tale che la soluzione, per $t\to T^-$, (a) "esplode", oppure (b) va a "sbattere" contro $\partial\Omega$. Non ci sono altre alternative.
Se $f$ è definita su tutto $\mathbb{R}^{n+1}$ l'unica possibilità per non avere una soluzione definita per ogni tempo è che questa esploda in tempo finito.
A sua volta l'esplosione in tempo finito è possibile solo se $f$ cresce abbastanza rapidamente in $y$ quando $|y|\to +\infty$; da qui il noto criterio di esistenza globale per le funzioni sublineari in $y$.
3) L'unicità è invece un problema di "biforcazione" delle soluzioni, cosa possibile solo se, in un dato punto, il campo ha una crescita locale molto rapida (cosa impossibile se $f$ è Lipschitziana rispetto a $y$, uniformemente etc etc etc).
Grazie ragazzi! Non sono sicuro di aver afferrato a pieno quello che Riegel ha provato a spiegarmi, ma continuerò a rifletterci per andare oltre i tecnicismi con cui ho appreso queste nozioni.
@dissonance: spero che tu non dica di aver avuto i miei stessi dubbi un tempo solo per non farmi sentire un totale imbecille!
Il tuo mi sembra un ottimo consiglio, ma se voglio conseguire la laurea triennale in un tempo non troppo diverso dai tre anni dovrò (ahimè!) rinviare queste letture "extra" a chissà quando (purtroppo ho dei pessimi, per usare un eufemismo, tempi di studio)! Sarà una liberazione quando arriverà il giorno in cui potrò studiare autonomamente senza l'ansia di dover sostenere esami (sebbene sia conscio che questa "roba iniziale" serve a darmi gli strumenti minimi per poter affrontare uno studio autonomo)!
Scusate l'ottusaggine, alla prossima!
@dissonance: spero che tu non dica di aver avuto i miei stessi dubbi un tempo solo per non farmi sentire un totale imbecille!
Il tuo mi sembra un ottimo consiglio, ma se voglio conseguire la laurea triennale in un tempo non troppo diverso dai tre anni dovrò (ahimè!) rinviare queste letture "extra" a chissà quando (purtroppo ho dei pessimi, per usare un eufemismo, tempi di studio)! Sarà una liberazione quando arriverà il giorno in cui potrò studiare autonomamente senza l'ansia di dover sostenere esami (sebbene sia conscio che questa "roba iniziale" serve a darmi gli strumenti minimi per poter affrontare uno studio autonomo)!
Scusate l'ottusaggine, alla prossima!
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