Esistenza e unicità del problema di Cauchy per equazioni a variabili separabili
Siano $I,J$ due intervalli aperti di $RR$. Siano $ginC(I,RR)$ e $hinC(J,RR)$ tale che $h(y)!=0$ per ogni $yinJ$. Siano $t_0ini nt(I)$, $y_0ini nt(J)$. Allora esiste un intervallo $I_1subeI$ tale che $t_0inI_1$ e il problema di Cauchy:
$\{(y'(t)=g(t)h(y)),(y(t_0)=y_0):}$
ammette un unica soluzione definita su $I_1$.
Allora vediamo se può andare bene così:
Sia $v:I_1->J$ soluzione dell'equazione differenziale, allora abbiamo che:
$v'(t)=g(t)h(v(t))$ per ogni $tinI_1$
$v(t_0)=y_0$
Usando la prima equazione e sfruttando che $h(y)!=0$ si ha che:
$(v'(t))/(h(v(t)))=g(t)$
$\int_(t_0)^t (v'(s))/(h(v(s)))ds=\int_(t_0)^t g(s)ds$
ponendo $sigma=v(s)$ e usando il fatto che $v(t_0)=y_0$ abbiamo:
$\int_(y_0)^(v(t)) 1/(h(sigma))dsigma=\int_(t_0)^t g(s)ds$
Ora invece partiamo da $vinC^1(I_1,J)$ tale che:
$\int_(y_0)^(v(t)) 1/(h(sigma))dsigma=\int_(t_0)^t g(s)ds$
Per il teorema fondamentale del calcolo integrale, derivando otteniamo che:
$1/(h(v(t)))*v'(t)=g(t)$
da cui si ottiene $v'(t)=g(t)h(v(t)))$ per ogni $tinI_1$.
Inoltre $\int_(y_0)^(v(t_0)) 1/(h(sigma))dsigma=\int_(t_0)^(t_0) g(s)ds=0$. Siccome $1/(h(y))!=0$ allora per teorema di esistenza degli zeri $1/h$ è positiva o negativa per cui anche la funzione integrale $\int_(y_0)^(v(t)) 1/(h(sigma))dsigma$ lo è, quindi necessariamente $v(t_0)=y_0$. Abbiamo quindi mostrato che $v$ è soluzione del problema di Cauchy se e solo se $\int_(y_0)^(v(t)) 1/(h(sigma))dsigma=\int_(t_0)^t g(s)ds$.
Poniamo ora $G:I->RR$ e $H:J->RR$ tale che:
$G(t)=\int_(t_0)^t g(s)ds$
$H(y)=\int_(y_0)^(y) 1/(h(sigma))dsigma$
Abbiamo quindi che $H(v(t))=G(t)$ per ogni $tinI_1$. Per teorema fondamentale del calcolo integrale si ha che $H'(y)=1/(h(y))$ che ha segno costante per cui $H$ è strettamente monotona e quindi invertibile da cui:
$v(t)=H^-1(G(t))$ per ogni $tinI_1$
Se mostro che esiste un $I_1$ tale che $G(I_1)subeH(J)$ (cossichè la composizione $H^-1\circG$ abbia senso) allora per quanto detto sopra abbiamo un unica soluzione del problema di Cauchy.
Noi sappiamo che $H$ è continua (poichè derivabile) e strettamente monotona quindi dal teorema dei valori intermedi si ha che $H(J)$ è un intervallo e perciò $i nt(H(J))subeH(J)$ (dove $i nt(H(J))$ è l'insieme dei punti interni di $H(J)$). Inoltre $H(y_0)=0$, ma siccome $y_0ini nt(J)$ e $H$ strettamente monotona allora $0ini nt(H(J))$, per cui siccome $i nt(H(J))$ è aperto esiste $delta>0$ tale che $(-delta,delta)ini nt(H(J))subeH(J)$. Poi sappiamo che $G$ è continua (poichè derivabile) e $G(t_0)=0$, per continuità si ha che esiste $UsubeI$ intorno di $t_0$ tale che per ogni $tinU$ si ha $G(t)in(-delta,delta)subeH(J)$. Ponendo quindi $I_1=U$ abbiamo mostrato che $G(t)inH(J)$ per ogni $tinI_1$.
$\{(y'(t)=g(t)h(y)),(y(t_0)=y_0):}$
ammette un unica soluzione definita su $I_1$.
Allora vediamo se può andare bene così:
Sia $v:I_1->J$ soluzione dell'equazione differenziale, allora abbiamo che:
$v'(t)=g(t)h(v(t))$ per ogni $tinI_1$
$v(t_0)=y_0$
Usando la prima equazione e sfruttando che $h(y)!=0$ si ha che:
$(v'(t))/(h(v(t)))=g(t)$
$\int_(t_0)^t (v'(s))/(h(v(s)))ds=\int_(t_0)^t g(s)ds$
ponendo $sigma=v(s)$ e usando il fatto che $v(t_0)=y_0$ abbiamo:
$\int_(y_0)^(v(t)) 1/(h(sigma))dsigma=\int_(t_0)^t g(s)ds$
Ora invece partiamo da $vinC^1(I_1,J)$ tale che:
$\int_(y_0)^(v(t)) 1/(h(sigma))dsigma=\int_(t_0)^t g(s)ds$
Per il teorema fondamentale del calcolo integrale, derivando otteniamo che:
$1/(h(v(t)))*v'(t)=g(t)$
da cui si ottiene $v'(t)=g(t)h(v(t)))$ per ogni $tinI_1$.
Inoltre $\int_(y_0)^(v(t_0)) 1/(h(sigma))dsigma=\int_(t_0)^(t_0) g(s)ds=0$. Siccome $1/(h(y))!=0$ allora per teorema di esistenza degli zeri $1/h$ è positiva o negativa per cui anche la funzione integrale $\int_(y_0)^(v(t)) 1/(h(sigma))dsigma$ lo è, quindi necessariamente $v(t_0)=y_0$. Abbiamo quindi mostrato che $v$ è soluzione del problema di Cauchy se e solo se $\int_(y_0)^(v(t)) 1/(h(sigma))dsigma=\int_(t_0)^t g(s)ds$.
Poniamo ora $G:I->RR$ e $H:J->RR$ tale che:
$G(t)=\int_(t_0)^t g(s)ds$
$H(y)=\int_(y_0)^(y) 1/(h(sigma))dsigma$
Abbiamo quindi che $H(v(t))=G(t)$ per ogni $tinI_1$. Per teorema fondamentale del calcolo integrale si ha che $H'(y)=1/(h(y))$ che ha segno costante per cui $H$ è strettamente monotona e quindi invertibile da cui:
$v(t)=H^-1(G(t))$ per ogni $tinI_1$
Se mostro che esiste un $I_1$ tale che $G(I_1)subeH(J)$ (cossichè la composizione $H^-1\circG$ abbia senso) allora per quanto detto sopra abbiamo un unica soluzione del problema di Cauchy.
Noi sappiamo che $H$ è continua (poichè derivabile) e strettamente monotona quindi dal teorema dei valori intermedi si ha che $H(J)$ è un intervallo e perciò $i nt(H(J))subeH(J)$ (dove $i nt(H(J))$ è l'insieme dei punti interni di $H(J)$). Inoltre $H(y_0)=0$, ma siccome $y_0ini nt(J)$ e $H$ strettamente monotona allora $0ini nt(H(J))$, per cui siccome $i nt(H(J))$ è aperto esiste $delta>0$ tale che $(-delta,delta)ini nt(H(J))subeH(J)$. Poi sappiamo che $G$ è continua (poichè derivabile) e $G(t_0)=0$, per continuità si ha che esiste $UsubeI$ intorno di $t_0$ tale che per ogni $tinU$ si ha $G(t)in(-delta,delta)subeH(J)$. Ponendo quindi $I_1=U$ abbiamo mostrato che $G(t)inH(J)$ per ogni $tinI_1$.
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