Esistenza di un limite (due variabili)
Vorrei dimostrare che il limite $lim_((x,y) -> (0,0)) (x^2 y)/(x^4 + y^2)$ non esiste usando le coordinate polari (sarebbe facile usando le restrizioni alle parabole del tipo $y = m x^2$, ma per adesso volevo capire se il mio ragionamento fosse giusto).
1) Per prima cosa si vede che $f( rho cos(theta) , rho sin(theta) ) = (rho^3 cos^2(theta) sin(theta))/(rho^4 cos^4(theta) + rho^2 sin^2(theta)) -> 0$ per $rho -> 0$.
2) Per dimostrare che il limite non esiste devo provare che $f$ converge a $0$ non uniformemente rispetto a $theta$. Allora
$ (rho^3 cos^2(theta) |sin(theta)|)/(rho^4 cos^4(theta) + rho^2 sin^2(theta)) <= epsilon$
$ (rho^3 cos^2(theta) |sin(theta)|) <= epsilon (rho^4 cos^4(theta) + rho^2 ( 1 - cos^2(theta)))$
Dividendo per $rho^2$:
$ (rho cos^2(theta) |sin(theta)|) <= epsilon (rho^2 cos^4(theta) + 1 - cos^2(theta))$
da cui:
$ rho^2 epsilon cos^4(theta) - rho cos^2(theta) |sin(theta)| + epsilon sin^2(theta) >= 0$
Risolvendo rispetto all'incognita $rho$:
$ rho_(1,2) = (cos^2(theta) |sin(theta)| +- sqrt( cos^4(theta) sin^2(theta) - 4 epsilon^2 cos^4(theta) sin^2(theta) ))/(2 epsilon cos^4(theta))$
Mettendo in evidenza $cos^2(theta)$ a numeratore:
$ rho_(1,2) = ( |sin(theta)| +- sqrt( sin^2(theta) - 4 epsilon^2 sin^2(theta) ))/(2 epsilon cos^2(theta))$
$ rho_(1,2) = ( |sin(theta)| +- |sin(theta)| sqrt( 1 - 4 epsilon^2 ))/(2 epsilon cos^2(theta))$
Ora è evidente che $rho_1 > 0$ (la radice ottenuta prendendo $+$).
$rho_2 = ( |sin(theta)| - |sin(theta)| sqrt( 1 - 4 epsilon^2 ))/(2 epsilon cos^2(theta))$
Ma $rho_2 < 0$ per $epsilon$ abbastanza piccolo; infatti:
Da $( |sin(theta)| - |sin(theta)| sqrt( 1 - 4 epsilon^2 )) < 0$ si ottiene che deve essere $epsilon^2 < 1/4$.
Allora scegliendo $epsilon < 1/2$ si ha che le soluzioni sono $rho in [rho_1 , +oo)$ ( $rho_1 > 0$ ).
Quindi non c'è speranza di trovare, $AA epsilon > 0$, un intorno di $rho = 0$ in cui si abbia che $AA theta$:
$| (rho^3 cos^2(theta) sin(theta))/(rho^4 cos^4(theta) + rho^2 sin^2(theta))| <= epsilon$
Quindi il limite non esiste.
E' corretto secondo voi? Grazie.
1) Per prima cosa si vede che $f( rho cos(theta) , rho sin(theta) ) = (rho^3 cos^2(theta) sin(theta))/(rho^4 cos^4(theta) + rho^2 sin^2(theta)) -> 0$ per $rho -> 0$.
2) Per dimostrare che il limite non esiste devo provare che $f$ converge a $0$ non uniformemente rispetto a $theta$. Allora
$ (rho^3 cos^2(theta) |sin(theta)|)/(rho^4 cos^4(theta) + rho^2 sin^2(theta)) <= epsilon$
$ (rho^3 cos^2(theta) |sin(theta)|) <= epsilon (rho^4 cos^4(theta) + rho^2 ( 1 - cos^2(theta)))$
Dividendo per $rho^2$:
$ (rho cos^2(theta) |sin(theta)|) <= epsilon (rho^2 cos^4(theta) + 1 - cos^2(theta))$
da cui:
$ rho^2 epsilon cos^4(theta) - rho cos^2(theta) |sin(theta)| + epsilon sin^2(theta) >= 0$
Risolvendo rispetto all'incognita $rho$:
$ rho_(1,2) = (cos^2(theta) |sin(theta)| +- sqrt( cos^4(theta) sin^2(theta) - 4 epsilon^2 cos^4(theta) sin^2(theta) ))/(2 epsilon cos^4(theta))$
Mettendo in evidenza $cos^2(theta)$ a numeratore:
$ rho_(1,2) = ( |sin(theta)| +- sqrt( sin^2(theta) - 4 epsilon^2 sin^2(theta) ))/(2 epsilon cos^2(theta))$
$ rho_(1,2) = ( |sin(theta)| +- |sin(theta)| sqrt( 1 - 4 epsilon^2 ))/(2 epsilon cos^2(theta))$
Ora è evidente che $rho_1 > 0$ (la radice ottenuta prendendo $+$).
$rho_2 = ( |sin(theta)| - |sin(theta)| sqrt( 1 - 4 epsilon^2 ))/(2 epsilon cos^2(theta))$
Ma $rho_2 < 0$ per $epsilon$ abbastanza piccolo; infatti:
Da $( |sin(theta)| - |sin(theta)| sqrt( 1 - 4 epsilon^2 )) < 0$ si ottiene che deve essere $epsilon^2 < 1/4$.
Allora scegliendo $epsilon < 1/2$ si ha che le soluzioni sono $rho in [rho_1 , +oo)$ ( $rho_1 > 0$ ).
Quindi non c'è speranza di trovare, $AA epsilon > 0$, un intorno di $rho = 0$ in cui si abbia che $AA theta$:
$| (rho^3 cos^2(theta) sin(theta))/(rho^4 cos^4(theta) + rho^2 sin^2(theta))| <= epsilon$
Quindi il limite non esiste.
E' corretto secondo voi? Grazie.
Risposte
"Seneca":
Ma $rho_2<0$ per $epsilon$ abbastanza piccolo ...
Questa affermazione non mi convince. In ogni modo, volevo proporti il calcolo della funzione $\delta(m,\epsilon)$ in coordinate cartesiane.
$f(x,y)=(x^2y)/(x^4+y^2)$
Per considerazioni di simmetria, è possibile restringersi al primo quadrante:
$\{(x>0),(y>0):} rarr [f(x,mx)=(mx^3)/(x^4+m^2x^2)=(mx)/(x^2+m^2)] ^^ [m>0]$
$|(mx)/(x^2+m^2)|<\epsilon rarr [(mx)/(x^2+m^2)<\epsilon] rarr [mx<\epsilonx^2+\epsilonm^2] rarr [\epsilonx^2-mx+\epsilonm^2>0]$
$[x=m(1+-sqrt(1-4\epsilon^2))/(2\epsilon)] rarr [0
$\{(m>0),(0<\epsilon<1/2):} rarr [\delta(m,\epsilon)=msqrt(1+m^2)(1-sqrt(1-4\epsilon^2))/(2\epsilon)] rarr [lim_(m->0^+)\delta(m,\epsilon)=0]$
Fissato $[0<\epsilon<1/2]$, il valore di questo ultimo limite rende impossibile determinare un $[\delta(\epsilon)>0]$ che verifichi la condizione iniziale per ogni $[m>0]$. Infine, fissato $[0<\epsilon<1/2]$, l'equazione cartesiana della frontiera dell'insieme così determinato:
$\{(x=m(1-sqrt(1-4\epsilon^2))/(2\epsilon)),(y=mx):} rarr [y=(2\epsilon)/(1-sqrt(1-4\epsilon^2))x^2]$
rappresenta una parabola con vertice nell'origine e asse coincidente con l'asse delle ordinate. Quindi, anche graficamente, questo insieme non può essere considerato un intorno in quanto, essendo la frontiera tangente all'asse delle ascisse, esistono successioni di punti appartenenti al piano ma non all'insieme che tendono all'origine "incuneandosi" tra l'asse delle ascisse e la frontiera medesima.
Buongiorno .
Se prendo $ \rho = \frac{1}{n} $ e $ \theta=\frac{\alpha}{n} $ con $ n > 0 $ e $ n in NN $
ho $ \frac{\rho^3 cos^2(\theta) sin(\theta)}{\rho^4 cos^4(\theta) + \rho^2 sin^2(\theta)} $
$ = \frac{\rho cos^2(\theta) sin(\theta)}{\rho^2 cos^4(\theta) + sin^2(\theta)} $
$ = \frac{\ cos^2(\frac{\alpha}{n} )n sin(\frac{\alpha}{n} )}{ cos^4(\frac{\alpha}{n} ) + n^2 sin^2(\frac{\alpha}{n} ) }$
$ -> \frac{\alpha}{ 1 + \alpha^2} $ quando $ n -> + infty $ e il risultato dipende di $ \alpha $
Dunque il limite non estite . Che cosa ne pensa ?
Se prendo $ \rho = \frac{1}{n} $ e $ \theta=\frac{\alpha}{n} $ con $ n > 0 $ e $ n in NN $
ho $ \frac{\rho^3 cos^2(\theta) sin(\theta)}{\rho^4 cos^4(\theta) + \rho^2 sin^2(\theta)} $
$ = \frac{\rho cos^2(\theta) sin(\theta)}{\rho^2 cos^4(\theta) + sin^2(\theta)} $
$ = \frac{\ cos^2(\frac{\alpha}{n} )n sin(\frac{\alpha}{n} )}{ cos^4(\frac{\alpha}{n} ) + n^2 sin^2(\frac{\alpha}{n} ) }$
$ -> \frac{\alpha}{ 1 + \alpha^2} $ quando $ n -> + infty $ e il risultato dipende di $ \alpha $
Dunque il limite non estite . Che cosa ne pensa ?
"DMNQ":
Dunque il limite non estite. Che cosa ne pensa?
Se i calcoli sono corretti, la tua deduzione è ineccepibile. Tuttavia:
"Seneca":
Vorrei dimostrare che il limite $lim_((x,y) -> (0,0)) (x^2 y)/(x^4 + y^2)$ non esiste usando le coordinate polari (sarebbe facile usando le restrizioni alle parabole del tipo $y = m x^2$, ma per adesso volevo capire se il mio ragionamento fosse giusto).
E ancora:
"Seneca":
Per dimostrare che il limite non esiste devo provare che $f$ converge a $0$ non uniformemente rispetto a $theta$.
Anche se Seneca si è espresso in termini più analitici mentre il sottoscritto in termini più geometrici, lo scopo della discussione era studiare in modo più dettagliato l'eventuale intorno corrispondente alle soluzioni della verifica.
Interessanti entrambi i ragionamenti. Vi ringrazio molto.
Questa affermazione non mi convince. [/quote]
Hai ragione... Avevo sbagliato i conti. In effetti viene che $rho_2 > 0$ anch'essa; perciò avrei $rho_1 , rho_2 > 0$ .
Il problema è che così la parabola associata a quel polinomio di secondo grado in $rho$ avrebbe la concavità rivolta verso l'alto e quindi viene ben determinato un intorno (destro) di $rho = 0$, che sarebbe $(0 , delta)$ ove $delta = "min" {rho_1 , rho_2}$ tale che in esso $AA theta in [0, 2pi)$ valga la relazione di partenza!
Ma questo non dimostrerebbe forse che la convergenza a zero è uniforme rispetto a $theta$? Cioè il contrario di ciò che succede?!
"speculor":
[quote="Seneca"]
Ma $rho_2<0$ per $epsilon$ abbastanza piccolo ...
Questa affermazione non mi convince. [/quote]
Hai ragione... Avevo sbagliato i conti. In effetti viene che $rho_2 > 0$ anch'essa; perciò avrei $rho_1 , rho_2 > 0$ .
Il problema è che così la parabola associata a quel polinomio di secondo grado in $rho$ avrebbe la concavità rivolta verso l'alto e quindi viene ben determinato un intorno (destro) di $rho = 0$, che sarebbe $(0 , delta)$ ove $delta = "min" {rho_1 , rho_2}$ tale che in esso $AA theta in [0, 2pi)$ valga la relazione di partenza!
Ma questo non dimostrerebbe forse che la convergenza a zero è uniforme rispetto a $theta$? Cioè il contrario di ciò che succede?!
Il tuo:
$delta(\theta,\epsilon)="min"{rho_1,rho_2}=rho_2=(|sin(theta)|-|sin(theta)|sqrt(1-4epsilon^2))/(2 epsilon cos^2(theta))$
è il mio:
$\delta(m,\epsilon)=msqrt(1+m^2)(1-sqrt(1-4\epsilon^2))/(2\epsilon)$
se ti restringi al primo quadrante. Non c'è ombra di dubbio che, per ogni retta uscente dall'origine, è possibile determinare un intorno lineare su quella retta tale che il limite sia verificato. Il raggio di quell'intorno dipende da $[\theta]$ oppure da $[m]$. Ma per poter concludere, come ho argomentato nel mio primo intervento, devi sincerarti che non tenda a zero per un qualche $[\theta]$ o per un qualche $[m]$. Altrimenti, quando prendi il loro minimo al variare di $[\theta]$ oppure di $[m]$ per poter fissare l'intorno circolare, il raggio del cerchio sarebbe nullo, in altre parole, il cerchio non esisterebbe. Tra l'altro, questo è proprio il motivo per il quale non si può dedurre l'esistenza del limite sul piano nonostante la sua "apparente " esistenza sulle rette.
$delta(\theta,\epsilon)="min"{rho_1,rho_2}=rho_2=(|sin(theta)|-|sin(theta)|sqrt(1-4epsilon^2))/(2 epsilon cos^2(theta))$
è il mio:
$\delta(m,\epsilon)=msqrt(1+m^2)(1-sqrt(1-4\epsilon^2))/(2\epsilon)$
se ti restringi al primo quadrante. Non c'è ombra di dubbio che, per ogni retta uscente dall'origine, è possibile determinare un intorno lineare su quella retta tale che il limite sia verificato. Il raggio di quell'intorno dipende da $[\theta]$ oppure da $[m]$. Ma per poter concludere, come ho argomentato nel mio primo intervento, devi sincerarti che non tenda a zero per un qualche $[\theta]$ o per un qualche $[m]$. Altrimenti, quando prendi il loro minimo al variare di $[\theta]$ oppure di $[m]$ per poter fissare l'intorno circolare, il raggio del cerchio sarebbe nullo, in altre parole, il cerchio non esisterebbe. Tra l'altro, questo è proprio il motivo per il quale non si può dedurre l'esistenza del limite sul piano nonostante la sua "apparente " esistenza sulle rette.
Eh, io avevo pensato che, siccome il minimo è realizzato per $theta = 0$, si ottiene che $rho_1 = rho_2 = 0$.
Quindi le soluzioni sarebbero $rho in (0, +oo)$, perché devo prendere i valori esterni e la concavità è volta verso l'alto.
Ti ringrazio, sei stato chiarissimo.
Quindi le soluzioni sarebbero $rho in (0, +oo)$, perché devo prendere i valori esterni e la concavità è volta verso l'alto.
Ti ringrazio, sei stato chiarissimo.
Non vedo lo scopo del problema . 
Ho bene capito che quando $ \rho -> 0 $
$ \frac{\rho^3 cos^2(\theta) sin(\theta)}{\rho^4 cos^4(\theta) + \rho^2 sin^2(\theta)} -> 0 $ .
Se $ \epsilon=0,1 $ allora qualsiasi $\eta > 0 $ posso trovare $ 0 < \rho < \eta $ e $ theta $
che verificano $ |\frac{\rho^3 cos^2(\theta) sin(\theta)}{\rho^4 cos^4(\theta) + \rho^2 sin^2(\theta)} | > \epsilon $
( prendere $ \rho = 1/n $ e $ \theta = 1/n $ con $ n in NN $ e $ n $ sufficientemente grande )
Dunque , quando $ \rho -> 0 $
$ \frac{\rho^3 cos^2(\theta) sin(\theta)}{\rho^4 cos^4(\theta) + \rho^2 sin^2(\theta)} $ non converge a 0 uniformente rispetto a $ \theta $
Ho bene capito che quando $ \rho -> 0 $
$ \frac{\rho^3 cos^2(\theta) sin(\theta)}{\rho^4 cos^4(\theta) + \rho^2 sin^2(\theta)} -> 0 $ .
Se $ \epsilon=0,1 $ allora qualsiasi $\eta > 0 $ posso trovare $ 0 < \rho < \eta $ e $ theta $
che verificano $ |\frac{\rho^3 cos^2(\theta) sin(\theta)}{\rho^4 cos^4(\theta) + \rho^2 sin^2(\theta)} | > \epsilon $
( prendere $ \rho = 1/n $ e $ \theta = 1/n $ con $ n in NN $ e $ n $ sufficientemente grande )
Dunque , quando $ \rho -> 0 $
$ \frac{\rho^3 cos^2(\theta) sin(\theta)}{\rho^4 cos^4(\theta) + \rho^2 sin^2(\theta)} $ non converge a 0 uniformente rispetto a $ \theta $
"DMNQ":
Non vedo lo scopo del problema.
Si cercava di dimostrare la non esistenza del limite, per così dire, utilizzando il metodo "forza bruta". Anche perchè non è detto che sia semplice determinare una successione di punti che faccia al caso in questione. Se non riesci a determinarla, come pensi di procedere? Tra l'altro, proprio studiando dettagliatamente l'insieme delle soluzioni che si ottiene facendo la verifica e che non rappresenta un intorno, si comprende perchè proprio la tua successione, e altre ancora, è utile nel concludere più velocemente.
"Seneca":
Vorrei dimostrare che il limite $lim_((x,y) -> (0,0)) (x^2 y)/(x^4 + y^2)$ non esiste usando le coordinate polari (sarebbe facile usando le restrizioni alle parabole del tipo $y = m x^2$ ...
Mi spieghi che differenza concettuale c'è nell'utilizzare le tue successioni rispetto a quelle indicate da Seneca, per esempio:
$\{(x_n=1/n),(y_n=m/n^2):}$
Del resto, anche per queste il limite dipende da $[m]$ e a ciò si stava riferendo. Semplicemente, mi sembra evidente che Seneca stesse cercando un altro tipo di soluzione.
"speculor":
mi sembra evidente che Seneca stesse cercando un altro tipo di soluzione.
Sì, esatto. Hai capito perfettamente.
"speculor":
Semplicemente, mi sembra evidente che Seneca stesse cercando un altro tipo di soluzione.
Ora , ho capito .
Vi ringrazio per l'esplicazione .
Dominique
Grazie a te per aver partecipato...
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