Esistenza di un limite
Buonasera, avrei bisogno di una mano nel valutare questo limite e più in generale avere un modus operandi nella risoluzione di tali esercizi.
Mi viene chiesto di valutare il seguente limite:
$\lim_{(x,y)\rightarrow(0,0)}\sin \frac{x^4+y^4}{x^3+xy^2}$
Per non sapere né leggere né scrivere, decido di verificare il fatto che se tale limite esiste debba avere lo stesso valore qualunque parametrizzazione io vada a porre:
Se scegliessi $y=x$, avrei
$\lim_{(x,x)\rightarrow (0,0)}\sin \frac{x^4+x^4}{x^3+x^3}=\lim_{(x,x)\rightarrow (0,0)}\sin \frac{2x^4}{2x^3}=\lim_{(x,x)\rightarrow (0,0)}\sinx=0$
Se scegliessi $y=x^2$, avrei
$\lim_{(x,x^2)\rightarrow (0,0)}\sin \frac{x^4+x^8}{x^3+x^5}=\lim_{(x,x^2)\rightarrow (0,0)}\sin \frac{x^4(1+x^4)}{x^3(1+x^2)}=\lim_{(x,x^2)\rightarrow (0,0)}\sin \frac{x(1+x^4)}{(1+x^2)}=\lim_{(x,x^2)\rightarrow (0,0)}\sin x=0$
Per cui possiamo constatare che se il limite esiste vale zero. Tuttavia non possiamo affermare che sia valido per qualunque percorso noi scegliamo di andare a prendere.
Penso quindi di sfruttare la parametrizzazione in coordinate polari, per cui la relazione diventa
$\lim_{\rho \rightarrow 0}\sin\frac{\rho^4(\cos^4\theta+\sin^4\theta)}{\rho^3\cos\theta(\cos^2\theta+\sin^2\theta)}=\lim_{\rho\rightarrow 0}\sin\rho\frac{\cos^4\theta+\sin^4\theta}{\cos\theta}=0$
Guardando così potrei affermare che il limite esiste e valga $0$. Tuttavia, guardando il risultato sul libro mi risulta indefinito il limite. È forse dovuto al fatto che se mi restringo a $(0,y)$ e poi eseguo il limite, mi trovo ad eseguirlo per una funzione definita come $\lim_{(0,y)\rightarrow (0,0)} \sin \frac{y^4}{0}$?
E proprio per questo caso particolare ho che il limite è indefinito? Perché pensavo che con la parametrizzazione in coordinare polari stia già valutando questo caso, o mi sbaglio?
In ogni caso chiedo quindi quale sia il modos operandi generico per risolvere questo tipo di limiti, se procedere attraverso una restrizione prima con rette e parabole per verificarne l'esistenza oppure procedere con le coordinate polari e maggiorazioni. Oppure c'è una via migliore.
Grazie per l'attenzione!
Mi viene chiesto di valutare il seguente limite:
$\lim_{(x,y)\rightarrow(0,0)}\sin \frac{x^4+y^4}{x^3+xy^2}$
Per non sapere né leggere né scrivere, decido di verificare il fatto che se tale limite esiste debba avere lo stesso valore qualunque parametrizzazione io vada a porre:
Se scegliessi $y=x$, avrei
$\lim_{(x,x)\rightarrow (0,0)}\sin \frac{x^4+x^4}{x^3+x^3}=\lim_{(x,x)\rightarrow (0,0)}\sin \frac{2x^4}{2x^3}=\lim_{(x,x)\rightarrow (0,0)}\sinx=0$
Se scegliessi $y=x^2$, avrei
$\lim_{(x,x^2)\rightarrow (0,0)}\sin \frac{x^4+x^8}{x^3+x^5}=\lim_{(x,x^2)\rightarrow (0,0)}\sin \frac{x^4(1+x^4)}{x^3(1+x^2)}=\lim_{(x,x^2)\rightarrow (0,0)}\sin \frac{x(1+x^4)}{(1+x^2)}=\lim_{(x,x^2)\rightarrow (0,0)}\sin x=0$
Per cui possiamo constatare che se il limite esiste vale zero. Tuttavia non possiamo affermare che sia valido per qualunque percorso noi scegliamo di andare a prendere.
Penso quindi di sfruttare la parametrizzazione in coordinate polari, per cui la relazione diventa
$\lim_{\rho \rightarrow 0}\sin\frac{\rho^4(\cos^4\theta+\sin^4\theta)}{\rho^3\cos\theta(\cos^2\theta+\sin^2\theta)}=\lim_{\rho\rightarrow 0}\sin\rho\frac{\cos^4\theta+\sin^4\theta}{\cos\theta}=0$
Guardando così potrei affermare che il limite esiste e valga $0$. Tuttavia, guardando il risultato sul libro mi risulta indefinito il limite. È forse dovuto al fatto che se mi restringo a $(0,y)$ e poi eseguo il limite, mi trovo ad eseguirlo per una funzione definita come $\lim_{(0,y)\rightarrow (0,0)} \sin \frac{y^4}{0}$?
E proprio per questo caso particolare ho che il limite è indefinito? Perché pensavo che con la parametrizzazione in coordinare polari stia già valutando questo caso, o mi sbaglio?
In ogni caso chiedo quindi quale sia il modos operandi generico per risolvere questo tipo di limiti, se procedere attraverso una restrizione prima con rette e parabole per verificarne l'esistenza oppure procedere con le coordinate polari e maggiorazioni. Oppure c'è una via migliore.
Grazie per l'attenzione!
Risposte
$ \lim_{\rho\rightarrow 0}\sin\rho\frac{\cos^4\theta+\sin^4\theta}{\cos\theta}=0 $
Se ti avvicini all'origine lungo $\theta = \pi / 2 $ non viene zero, giusto ?
Se ti avvicini all'origine lungo $\theta = \pi / 2 $ non viene zero, giusto ?
Giusto, quindi rappresenta il caso che ho trattato alla fine? Perché in quel caso le mie coordinate sarebbero state:
$x = \rho\cos\frac \pi 2 = 0$ e $y=\rho\sin\frac \pi2=\rho$
$x = \rho\cos\frac \pi 2 = 0$ e $y=\rho\sin\frac \pi2=\rho$
Hai provato $y=sqrt(x)$ ?
Beh, il limite proposto è il seguente:
$ \lim_{(x,y)\to (0,0)}\sin \frac{x^4+y^4}{x^3+xy^2} $
Per $ y = mx^{\alpha} $ si ha:
$ \lim_{x \to 0}\sin \frac{x^4+m^4 x^{4\alpha}}{x^3+m^2 x^{2\alpha + 1}} = \lim_{x \to 0}\sin \frac{x^2+m^4 x^{4\alpha - 2}}{x + m^2 x^{2\alpha - 1}} $
Se si assume $\alpha = 1/2 $, cioè $y = m sqrt{x} $, il risultato del limite proposto dipende da $m $:
$ \lim_{x \to 0} \sin \frac{x^4+m^4 x^2}{x^3+m^2 x^2} = \lim_{x \to 0} \sin \frac{x^2+m^4}{x+m^2} $
Pertanto il limite proposto non esiste.
$ \lim_{(x,y)\to (0,0)}\sin \frac{x^4+y^4}{x^3+xy^2} $
Per $ y = mx^{\alpha} $ si ha:
$ \lim_{x \to 0}\sin \frac{x^4+m^4 x^{4\alpha}}{x^3+m^2 x^{2\alpha + 1}} = \lim_{x \to 0}\sin \frac{x^2+m^4 x^{4\alpha - 2}}{x + m^2 x^{2\alpha - 1}} $
Se si assume $\alpha = 1/2 $, cioè $y = m sqrt{x} $, il risultato del limite proposto dipende da $m $:
$ \lim_{x \to 0} \sin \frac{x^4+m^4 x^2}{x^3+m^2 x^2} = \lim_{x \to 0} \sin \frac{x^2+m^4}{x+m^2} $
Pertanto il limite proposto non esiste.
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