Esistenza derivate parziali - funzioni di 2 variabili

[cedryl]

Ho la funzione:

$f(x,y)=root(3)(y^2(x+1))+1

e mi si chiede di calcolare le derivate parziali in tutti i punti in cui esistono.

Ora ho che

$f_x=1/3root(3)(y^2/((x+1)^2))$ per x diverso da -1

e

$f_y=2/3root(3)((x+1)/y)$ per y diverso da 0

Ho però il problema di capire come funzionano le cose per x=-1 e y=0, nel senso che, per x=-1:

$f(-1,y)=1$ e quindi $f_x(-1,y)=0$ e fin qui le cose ok. Però la soluzione dell'esercizio mi dice che è vero per y=0, mentre per y diverso da 0 f non è differenziabile, e non capisco il motivo.

Allo stesso modo, per y=0:

$f(x,0)=1$ e quindi $f_y(x,0)=0$, ma anche qui la soluzione suggerisce che per x diverso da -1 f non è differenziabile.

Qualcuno che mi possa illuminare? Grazie mille!

[_Tipper]

Se prima fissi la $x$ e dopo derivi rispetto a $x$ è chiaro che ottieni zero, da che la derivata di una costante è zero. Quello che devi fare è usare la definizione, cioè studiare il limite

$\lim_{h \to 0} \frac{f((-1,y) + (h,0)) - f(-1,y)}{h}$

al variare di $y$.