Esistenza derivate parziali con alfa e beta come parametri
Ciao ragazzi,
stavo facendo un esercizio di tema d'esame e non riesco a trovare il giusto risultato.
Qui potete vedere il tema d'esame: http://rinaldo.unibs.it/aa0708/a2s1.pdf - esercizio n°3
$ f(x,y):= {
( (7*(x − 7)^α − arctan(8*(y−2)^β))/((x−7)^2+2−y) , se (x,y)!=(7,2)),
(text{0},se (x,y)=(7,2)):} $
Le soluzioni sono:
3.A α ≥ 3 e β ≥ 2
3.B nessuna delle risposte presenti
3.C α ≥ 7 e β ≥ 2
3.D α ≥ 3 e β ≥ 7
Abbiamo una bella funzione
Scherzi a parte, ho calcolato:
(A) derivata parziale lungo x nel punto (7, 2):
$ (delf)/(delx) := lim_(h->0)(f(7+h, 2)-f(7, 2))/h $
$ = [(1/h) * (7*(7+h-7)^\alpha\-arctan(8*(2-2)^\beta\))/((7+h-7)^2+2-2))] $
$ = [(1/h) * (7*h^\alpha\-arctan(8*0^\beta\))/(h^2)]
= [(1/h)* ((7*h^\alpha\)/(h^2))] = 7 * h^(\alpha\-3) $
E il limite esiste per $ \alpha\>= 3 $
(B) derivata parziale lungo x nel punto (7, 2):
$ (delf)/(dely) := lim_(k->0)(f(7, 2+k)-f(7, 2))/k $
$ = [(1/k)*((7*(7-7)^\alpha\-arctan(8*(2+k-2)^\beta\))/((7-7)^2+2-2-k))] $
$ = [(1/k)*((-arctan(8*k^\beta\))/(-k))] $
$ = [(1/k)*((+arctan(8*k^\beta\))/(+k))] $
$ = [arctan(8*k^\beta\)/k^2] $
Siccome k tende a 0, arctan(0) è 0 e di conseguenza il limite è zero con beta >=1.
A questo punto direi nessuna delle risposte, ossia la B mentre la soluzione è la A.
Ragazzi, gentilmente, dove sbaglio?
Grazie mille
stavo facendo un esercizio di tema d'esame e non riesco a trovare il giusto risultato.
Qui potete vedere il tema d'esame: http://rinaldo.unibs.it/aa0708/a2s1.pdf - esercizio n°3
$ f(x,y):= {
( (7*(x − 7)^α − arctan(8*(y−2)^β))/((x−7)^2+2−y) , se (x,y)!=(7,2)),
(text{0},se (x,y)=(7,2)):} $
Le soluzioni sono:
3.A α ≥ 3 e β ≥ 2
3.B nessuna delle risposte presenti
3.C α ≥ 7 e β ≥ 2
3.D α ≥ 3 e β ≥ 7
Abbiamo una bella funzione
Scherzi a parte, ho calcolato:(A) derivata parziale lungo x nel punto (7, 2):
$ (delf)/(delx) := lim_(h->0)(f(7+h, 2)-f(7, 2))/h $
$ = [(1/h) * (7*(7+h-7)^\alpha\-arctan(8*(2-2)^\beta\))/((7+h-7)^2+2-2))] $
$ = [(1/h) * (7*h^\alpha\-arctan(8*0^\beta\))/(h^2)]
= [(1/h)* ((7*h^\alpha\)/(h^2))] = 7 * h^(\alpha\-3) $
E il limite esiste per $ \alpha\>= 3 $
(B) derivata parziale lungo x nel punto (7, 2):
$ (delf)/(dely) := lim_(k->0)(f(7, 2+k)-f(7, 2))/k $
$ = [(1/k)*((7*(7-7)^\alpha\-arctan(8*(2+k-2)^\beta\))/((7-7)^2+2-2-k))] $
$ = [(1/k)*((-arctan(8*k^\beta\))/(-k))] $
$ = [(1/k)*((+arctan(8*k^\beta\))/(+k))] $
$ = [arctan(8*k^\beta\)/k^2] $
Siccome k tende a 0, arctan(0) è 0 e di conseguenza il limite è zero con beta >=1.
A questo punto direi nessuna delle risposte, ossia la B mentre la soluzione è la A.
Ragazzi, gentilmente, dove sbaglio?
Grazie mille
Risposte
nel calcolo della derivata parziale rispetto ad y è $1/k$ e non $1/h$. detto questo usi il criterio asintotico dell'arcotangente ($arctan (epsilon_n) ~ epsilon_n$ per $epsilon_n -> 0$) e ti ritrovi ad avere $8k^(beta-2)$ che studi esattamente come hai fatto prima..
Ragazzi, ho fatto delle modifiche al mio post iniziale!
Sono pronto a raccogliere tutti i consigli
Sono pronto a raccogliere tutti i consigli
per la verità ti ho già risposto nel post precedente.
non capisco però da dove dici che beta debba essere $ >= 1$. a denominatore hai $k^2$ perchè abbassi la potenza?
non capisco però da dove dici che beta debba essere $ >= 1$. a denominatore hai $k^2$ perchè abbassi la potenza?
"cooper":
per la verità ti ho già risposto nel post precedente.
non capisco però da dove dici che beta debba essere $ >= 1$. a denominatore hai $k^2$ perchè abbassi la potenza?
Ok, capito!
Una cosa: perchè non posso dire: $ arctan(8*k^\beta\) text( con k tendente a zero) = arctan(0) text( con beta >0 ) = 0 $
perchè hai una forma di indecisione $0/0$. se fosse solo $arctan k^(beta)$ allora si farebbe 0 e basta (per $beta > 0$). ma qui avendo anche il denominatore non sai cosa succede.
"cooper":
perchè hai una forma di indecisione $0/0$. se fosse solo $arctan k^(beta)$ allora si farebbe 0 e basta (per $beta > 0$). ma qui avendo anche il denominatore non sai cosa succede.
Ok, hai perfettamente ragione. Quindi, concludendo (e ti ringrazio molto dell'aiuto, anche vista l'ora tarda!) scompongo il numeratore con Taylor e voilà, problema risolto!
esatto! 
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