Esistenza derivata parziale
Oggi dopo qualche mese ho ripreso in mano il libro di analisi e dopo un paragrafo già mi sono fermato su un esempio alquanto banale...
Data la funzione così definita:
\[ f(x,y) = \begin{cases} \frac{x^2}{x^2 + y^2} & & (x,y)\neq (0,0) \\ & \\ 0 && (x,y)=(0,0) \end{cases}\]
si dice che la derivata parziale rispetto a $y$ calcolata nel punto $\mathbf{0} = (0,0)$ vale $0$, invece la derivata rispetto a $x$ nel punto $(0,0)$ non esiste.
Sto provando a verificare ciò con i calcoli ma trovo delle difficoltà. Mi starò perdendo in un bicchier d'acqua, ne sono sicuro.
Cercasi un consiglio illuminante
Data la funzione così definita:
\[ f(x,y) = \begin{cases} \frac{x^2}{x^2 + y^2} & & (x,y)\neq (0,0) \\ & \\ 0 && (x,y)=(0,0) \end{cases}\]
si dice che la derivata parziale rispetto a $y$ calcolata nel punto $\mathbf{0} = (0,0)$ vale $0$, invece la derivata rispetto a $x$ nel punto $(0,0)$ non esiste.
Sto provando a verificare ciò con i calcoli ma trovo delle difficoltà. Mi starò perdendo in un bicchier d'acqua, ne sono sicuro.
Cercasi un consiglio illuminante
Risposte
Il consiglio (non troppo) illuminante è: posta i conti che hai svolto. 
In realtà preferivo non postarli dato che mi sa proprio che sto sbagliando completamente il ragionamento. Secondo me sto ragionando in "stile analisi 1" quando invece si sta parlando di una funzione in due variabili.
La prima cosa che faccio è calcolare le due derivate parziali, e fino a qui credo di esserci:
\[ \partial_{x}f(x,y) = \begin{cases} \frac{2xy^2}{(x^2 + y^2)^2} & & (x,y)\neq (0,0) \\ 0 && (x,y)=(0,0) \end{cases} \]
\[ \partial_{y}f(x,y) = \begin{cases} \frac{-2yx^2}{(x^2 + y^2)^2} & & (x,y)\neq (0,0) \\ 0 && (x,y)=(0,0) \end{cases} \]
A questo punto, avevo provato a calcolare il limite per $(x,y) \to (0,0)$ per ogni derivata per vedere se tale limite coincide con il valore $0$ che la derivata assume nel punto $(0,0)$.
A parte un piccolo dubbio inerente al calcolo del limite (ed al suo risultato), non credo che questa sia la strada corretta. Sto facendo un limite bidimensionale, considerando (grazie al cambio in coordinate polari) ogni possibile direzione di "avvicinamento al punto", ma mi sembra che questo concetto cozzi un po' con il concetto di derivata parziale che in qualche modo privilegia solamente una direzione.
In più questo ragionamento di verificare la continuità locale al fine di verificare l'esistenza della derivata in quel punto è un'idea in "stile analisi 1" che non so quanto si possa applicare a casi di funzioni in più variabili...
La prima cosa che faccio è calcolare le due derivate parziali, e fino a qui credo di esserci:
\[ \partial_{x}f(x,y) = \begin{cases} \frac{2xy^2}{(x^2 + y^2)^2} & & (x,y)\neq (0,0) \\ 0 && (x,y)=(0,0) \end{cases} \]
\[ \partial_{y}f(x,y) = \begin{cases} \frac{-2yx^2}{(x^2 + y^2)^2} & & (x,y)\neq (0,0) \\ 0 && (x,y)=(0,0) \end{cases} \]
A questo punto, avevo provato a calcolare il limite per $(x,y) \to (0,0)$ per ogni derivata per vedere se tale limite coincide con il valore $0$ che la derivata assume nel punto $(0,0)$.
A parte un piccolo dubbio inerente al calcolo del limite (ed al suo risultato), non credo che questa sia la strada corretta. Sto facendo un limite bidimensionale, considerando (grazie al cambio in coordinate polari) ogni possibile direzione di "avvicinamento al punto", ma mi sembra che questo concetto cozzi un po' con il concetto di derivata parziale che in qualche modo privilegia solamente una direzione.
In più questo ragionamento di verificare la continuità locale al fine di verificare l'esistenza della derivata in quel punto è un'idea in "stile analisi 1" che non so quanto si possa applicare a casi di funzioni in più variabili...
Ma dato che non c'è in ballo la derivabilità della funzione, ma solamente il valore della derivata nel punto $(0,0)$, non dovrebbe essere $0$?
Se $f(0,0) = 0$, per definizione, allora $\partial_{x}f(0,0) = \partial_{y} f(0,0) = 0$. Ma in effetti questa affermazione avrebbe senso solo se esistessero le funzioni $\partial_{x}f$ e $\partial_{y}f$...cosa che, appunto, dovrei verificare! Ci sto girando e rigirando attorno ma nulla
La cosa strana è che questo esempietto si trova all'inizio del capitolo (PS Vol 1 Cap 7) e subito dopo il paragrafo che ha introdotto il concetto di derivata direzionale e parziale... quindi dovrebbe essere banale (e sono sicuro che lo è, ma mi sfugge qualcosa).
Ah queste funzioni definite a casi!
Se $f(0,0) = 0$, per definizione, allora $\partial_{x}f(0,0) = \partial_{y} f(0,0) = 0$. Ma in effetti questa affermazione avrebbe senso solo se esistessero le funzioni $\partial_{x}f$ e $\partial_{y}f$...cosa che, appunto, dovrei verificare! Ci sto girando e rigirando attorno ma nulla
La cosa strana è che questo esempietto si trova all'inizio del capitolo (PS Vol 1 Cap 7) e subito dopo il paragrafo che ha introdotto il concetto di derivata direzionale e parziale... quindi dovrebbe essere banale (e sono sicuro che lo è, ma mi sfugge qualcosa).
Ah queste funzioni definite a casi!
La derivate parziali vanno trattate come la derivata di una funzione di una sola variabile, fissando l'altra, come ben sai.
Quindi per verificare la derivabilità in (0,0) rispetto a x e y devi procedere come fai con le funzioni di una sola variabile reale.
Nelle maledette funzioni a pezzi va fatta attenzione a come si calcola la derivata in alcuni punti. In (0, 0) devi verificare la derivabilità facendo il limite del rapporto incrementale e vedere se esiste, io l'ho fatto per y e mi torna che è 0, quello per x non l'ho fatto, non dovrebbe esistere, stando a quanto dice il tuo libro.
Non ti devi imbarcare in limiti nelle varie direzioni di una funzione di due variabili, per il motivo di cui ti dicevo sopra, di fatto stai trattando funzioni di una sola vairabile. Spero di essere stata, non illuminante, ma abbastanza chiara.
Quindi per verificare la derivabilità in (0,0) rispetto a x e y devi procedere come fai con le funzioni di una sola variabile reale.
Nelle maledette funzioni a pezzi
va fatta attenzione a come si calcola la derivata in alcuni punti. In (0, 0) devi verificare la derivabilità facendo il limite del rapporto incrementale e vedere se esiste, io l'ho fatto per y e mi torna che è 0, quello per x non l'ho fatto, non dovrebbe esistere, stando a quanto dice il tuo libro.Non ti devi imbarcare in limiti nelle varie direzioni di una funzione di due variabili, per il motivo di cui ti dicevo sopra, di fatto stai trattando funzioni di una sola vairabile. Spero di essere stata, non illuminante, ma abbastanza chiara.
M scuso per il ritardo della risposta. Ho ripreso in mano le questione oggi ma ancora non ci sono...
Mi dici che in $(0,0)$ devo fare il limite del rapporto incrementale, ma sinceramente (a causa della funzione definita a tratti) non so come farlo e soprattutto non riesco a capire se sia il giusto procedimento. Detta così è chiaro, ma quando comincio a scrivere mi vengono un sacco di dubbi. Qualcuno potrebbe gentilmente assistermi postandomi i calcoli in modo che capisca di quale limite stiamo parlando?
Ma l'espressione delle derivate parziali è almeno corretta? Fare il limite del rapporto incrementale nel punto di raccordo $(0,0)$ non equivale a verificare che i limiti sinistro e destro della derivata parziale in questione siano uguali?
Ringrazio anticipatamente
Mi dici che in $(0,0)$ devo fare il limite del rapporto incrementale, ma sinceramente (a causa della funzione definita a tratti) non so come farlo e soprattutto non riesco a capire se sia il giusto procedimento. Detta così è chiaro, ma quando comincio a scrivere mi vengono un sacco di dubbi. Qualcuno potrebbe gentilmente assistermi postandomi i calcoli in modo che capisca di quale limite stiamo parlando?
Ma l'espressione delle derivate parziali è almeno corretta? Fare il limite del rapporto incrementale nel punto di raccordo $(0,0)$ non equivale a verificare che i limiti sinistro e destro della derivata parziale in questione siano uguali?
Ringrazio anticipatamente
\[ f(x,y) = \begin{cases} \frac{x^2}{x^2 + y^2} & & (x,y)\neq (0,0) \\ & \\ 0 && (x,y)=(0,0) \end{cases}\]
$=>(partial f)/(partial x)(0,0)=lim_(h->0) (f(h,0)-f(0,0))/h=1/h=oo=> text(non esiste)$
$=>(partial f)/(partial y)(0,0)=lim_(k->0) (f(0,k)-f(0,0))/k=0/k=0$
Ti ringrazio di aver postato i calcoli. Cosa sapevo fin da subito era una stupidaggine, è che proprio non riuscivo a capirmi.
Mi sembrava troppo semplice e mi complicavo la vita inutilmente spaventato dalla definizione "a tratti" della funzione.
Ringrazio entrambi per l'aiuto
Mi sembrava troppo semplice e mi complicavo la vita inutilmente spaventato dalla definizione "a tratti" della funzione.
Ringrazio entrambi per l'aiuto
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