Esistenza derivata direzionale in (0,0) e differenziabilità
Salve non riesco a capire la seconda parte dell'esercizio 
Data l'equazione
$ f(x,y) = o $ se $x=y$
and
$ f(x,y) = (x^2-2y^2)/(x-y) $ se $x!=y $
Calcolare se esistono le derivate direzionali nell'origine e dire se in tale punto la f(x,y) è differenziabile...
Per la prima prendo $lambda$ il generico versore di coordinate $alpha$ e $beta$ che da appunto la generica direzione e calcolo
$lim_(t->0) (f(alpha*t,beta*t)-f(0,0))/t
se esiste ed è finito la funzione ammette derivata direzionale (quindi come limite del generico rapporto incrementale? penso)
Ma come dimostro che nell'origine f(x,y) è differenziabile??
debbo applicare la condizione $lim_(h,k->0,0) (f(h,k)-f(0,0)-h*f_x(x,y)-k*f_y(x,y))/(sqrt(h^2+k^2))
i calcoli si complicano di brutto credo che ci sia un metodo più rapido il testo accenna qualcosa agli "o-piccolo"?! passati attraverso le coordinate polari?!
Data l'equazione
$ f(x,y) = o $ se $x=y$
and
$ f(x,y) = (x^2-2y^2)/(x-y) $ se $x!=y $
Calcolare se esistono le derivate direzionali nell'origine e dire se in tale punto la f(x,y) è differenziabile...
Per la prima prendo $lambda$ il generico versore di coordinate $alpha$ e $beta$ che da appunto la generica direzione e calcolo
$lim_(t->0) (f(alpha*t,beta*t)-f(0,0))/t
se esiste ed è finito la funzione ammette derivata direzionale (quindi come limite del generico rapporto incrementale? penso)
Ma come dimostro che nell'origine f(x,y) è differenziabile??
debbo applicare la condizione $lim_(h,k->0,0) (f(h,k)-f(0,0)-h*f_x(x,y)-k*f_y(x,y))/(sqrt(h^2+k^2))
i calcoli si complicano di brutto credo che ci sia un metodo più rapido il testo accenna qualcosa agli "o-piccolo"?! passati attraverso le coordinate polari?!
Risposte
"bingosolos":
$ f(x,y) = o $ $ $se $x=y$
and
$ f(x,y) = (x^2-2y^2)/(x-y) $ se $x!=y $
Per la prima prendo $lambda$ il generico versore di coordinate $alpha$ e $beta$ che da appunto la generica direzione e calcolo
$lim_(t->0) (f(alpha*t,beta*t)-f(0,0))/t
se esiste ed è finito la funzione ammette derivata direzionale (quindi come limite del generico rapporto incrementale? penso)
è giusto, tieni presente che le derivate direzionali si ottengono facendo variare la funzione lungo una retta, e derivando la funzione di una variabile così ottenuta.
"bingosolos":
Ma come dimostro che nell'origine f(x,y) è differenziabile??
debbo applicare la condizione $lim_(h,k->0,0) (f(x+h,y+k)-f(0,0)-h*f_x(x,y)-k*f_y(x,y))/(sqrt(h^2+k^2))
stai attento così ti stai incasinando: tu devi verificare la differenziabilità in (0,0), quindi da dove escono quella x e quella y?
si scusa non avevo sostituito ma rimane diverso il procedimento sul testo parla di infinitesimi detti anche "c-piccolo".... io sinceramente per quel poco che ne ricordo (1998) c'erano delle regole nelle forme indefnite dei limiti che facevano riferimento alle velocità con cui questi infinitesimi andavano a zero o a infiniti l'uni rispetto all'altro e questo giustifica come mai una forma 0/0 divenisse zero o infinito... ma oltre non vado come la risolvereste voi???
senti prima avevo calcolato le derivate in (0,0), ottenendo $\nabla_{f}(0,0)=(1,2)$. A questo punto, calcoliamo
$lim_{(h,k)\to(0,0)}(f(h,k)-h-2k)/(sqrt(h^2+k^2))$ che dopo qualche conto è $lim_{(h,k)\to(0,0)}(hk)/((-h+k)sqrt(h^2+k^2))$. Questo limite non esiste e quindi la funzione non è differenziabile nell'origine. Se sei sicuro che la funzione deve essere differenziabile, vuol dire che ho sbagliato qualcosa io...
$lim_{(h,k)\to(0,0)}(f(h,k)-h-2k)/(sqrt(h^2+k^2))$ che dopo qualche conto è $lim_{(h,k)\to(0,0)}(hk)/((-h+k)sqrt(h^2+k^2))$. Questo limite non esiste e quindi la funzione non è differenziabile nell'origine. Se sei sicuro che la funzione deve essere differenziabile, vuol dire che ho sbagliato qualcosa io...
Il risultato è corretto ma l'ultimo passaggio non mi è chiaro scusami potresti spiegarmelo "come un bambino di due anni"
da cosa si capisce che il limite non esiste???
invece sul testo è risolto con una discussione e due passaggi e quindi miravo a quella risoluzione non avendo delle buone basi sulla teoria dei limiti ma se riesco a capire come si fa a dire che non esiste va bene lo stesso....
da cosa si capisce che il limite non esiste???invece sul testo è risolto con una discussione e due passaggi e quindi miravo a quella risoluzione non avendo delle buone basi sulla teoria dei limiti ma se riesco a capire come si fa a dire che non esiste va bene lo stesso....
Avevo capito che l'esercizio fosse "dimostrare che la funzione è differenziabile in (0,0)"! Ecco perché non trovavo l'errore nei miei conti...perché erano giusti!!](*,)
Vabbé allora: se ho capito bene il dubbio che tu hai è proprio nel come stabilire che l'ultimo limite non esiste.
Come ho fatto io: chiamiamo $g(h,k)=(hk)/((-h+k)sqrt(h^2+k^2))$. Se il limite $lim_{(h,k)\to(0,0)} g(h,k)$ esistesse, allora sicuramente (teorema sul limite delle funzioni composte) prendendo una funzione $\gamma:RR->RR^2$ (naturalmente fatta in maniera tale che $g\circ\gamma$ abbia senso), se $\gamma(t)\to(0,0)\ text(per)\ t\to t_0$ allora necessariamente dovrebbe esistere $lim_{t\tot_0}g(\gamma(t))$. Inoltre se prendessimo un'altra funzione $\phi$ (sempre tale che si possa comporre con $g$), supponendo che $\phi(s)\to(0,0)\ \text(per)\ s\tos_0$ (cambio variabile per evitare confusione: non è necessario che $t_0=s_0$, basta che $\gamma(t),\phi(s)$ tendano a $(0,0)$) dovrebbe per forza succedere $lim_{t\tot_0}g(\gamma(t))=lim_{s\tos_0}g(\phi(s))$. Come $\phi,\gamma$ vanno benissimo, nel nostro caso, due parametrizzazioni di rette passanti per l'origine: $\gamma(t)=(t, -t), \phi(s)=(s,0)$. Componendo con $g$:
$g(\gamma(t))=(-t^2)/(-2tsqrt(2t^2))=1/(2sqrt(2))$, $g(\phi(s))=0$ identicamente. Quindi anche i limiti per $t\to0$, $s\to0$ sono $1/(2sqrt(2))$, $0$, cioè sono diversi. Concludiamo che il limite della $g$ non può esistere.
Probabilmente sul testo usa le coordinate polari per rendersi conto che il limite non esiste in questo modo: se passi a coordinate polari $(\rho,\theta)$ l'espressione della $g$, vedi che sparisce la dipendenza da $\rho$. Questo significa che i valori assunti dalla $g$ non dipendono dalla distanza dall'origine, ma solo dall'angolo $\theta$. Da qui già puoi concludere che, se per $\theta_1!=\theta_2$ la $g$ prende due valori diversi, allora li prenderà su tutte le rette di coefficiente angolare $\theta_1$, $\theta_2$. Quindi rifacendo lo stesso ragionamento di prima, il limite non esiste.
Ho scritto tutto passo-passo come mi avevi chiesto tu... è venuto un po' lunghetto purtroppo! spero di essere stato chiaro!
Vabbé allora: se ho capito bene il dubbio che tu hai è proprio nel come stabilire che l'ultimo limite non esiste.
Come ho fatto io: chiamiamo $g(h,k)=(hk)/((-h+k)sqrt(h^2+k^2))$. Se il limite $lim_{(h,k)\to(0,0)} g(h,k)$ esistesse, allora sicuramente (teorema sul limite delle funzioni composte) prendendo una funzione $\gamma:RR->RR^2$ (naturalmente fatta in maniera tale che $g\circ\gamma$ abbia senso), se $\gamma(t)\to(0,0)\ text(per)\ t\to t_0$ allora necessariamente dovrebbe esistere $lim_{t\tot_0}g(\gamma(t))$. Inoltre se prendessimo un'altra funzione $\phi$ (sempre tale che si possa comporre con $g$), supponendo che $\phi(s)\to(0,0)\ \text(per)\ s\tos_0$ (cambio variabile per evitare confusione: non è necessario che $t_0=s_0$, basta che $\gamma(t),\phi(s)$ tendano a $(0,0)$) dovrebbe per forza succedere $lim_{t\tot_0}g(\gamma(t))=lim_{s\tos_0}g(\phi(s))$. Come $\phi,\gamma$ vanno benissimo, nel nostro caso, due parametrizzazioni di rette passanti per l'origine: $\gamma(t)=(t, -t), \phi(s)=(s,0)$. Componendo con $g$:
$g(\gamma(t))=(-t^2)/(-2tsqrt(2t^2))=1/(2sqrt(2))$, $g(\phi(s))=0$ identicamente. Quindi anche i limiti per $t\to0$, $s\to0$ sono $1/(2sqrt(2))$, $0$, cioè sono diversi. Concludiamo che il limite della $g$ non può esistere.
Probabilmente sul testo usa le coordinate polari per rendersi conto che il limite non esiste in questo modo: se passi a coordinate polari $(\rho,\theta)$ l'espressione della $g$, vedi che sparisce la dipendenza da $\rho$. Questo significa che i valori assunti dalla $g$ non dipendono dalla distanza dall'origine, ma solo dall'angolo $\theta$. Da qui già puoi concludere che, se per $\theta_1!=\theta_2$ la $g$ prende due valori diversi, allora li prenderà su tutte le rette di coefficiente angolare $\theta_1$, $\theta_2$. Quindi rifacendo lo stesso ragionamento di prima, il limite non esiste.
Ho scritto tutto passo-passo come mi avevi chiesto tu... è venuto un po' lunghetto purtroppo! spero di essere stato chiaro!
Non è lunghetto va benissimo, quindi l'idea è:
se arrivo ad un limite abbastanza complicato mi viene il dubbio che non esiste e quindi
restringo il dominio del limite con una parametrizzazione.
Questo procedimento mi elimina una variabile (che non è poco )
scegliendo opportune parametrizzazione se ottengo due risultati diversi ottengo un assurdo che smentisce l'esistenza del limite è corretto?
se arrivo ad un limite abbastanza complicato mi viene il dubbio che non esiste e quindi
restringo il dominio del limite con una parametrizzazione.
Questo procedimento mi elimina una variabile (che non è poco
) scegliendo opportune parametrizzazione se ottengo due risultati diversi ottengo un assurdo che smentisce l'esistenza del limite è corretto?
esatto. In questo caso il sospetto che il limite non esiste ti viene osservandolo in coordinate polari.
(edit) "in questo caso" è riferito all'esercizio di prima.
(edit) "in questo caso" è riferito all'esercizio di prima.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo