Esistenza derivata direzionale?

[dark.hero]

$ f(x,y) = arctan(y/x)$ con x!=0
$ 3pi/2 $ con x=0

$ v=(1/sqrt(2) ,1/sqrt(2)) $

stabilire se esistono e calcolare $ (delf)/(delx)(0,0) , (delf)/(dely)(0,0) , (delf)/(delv)(0,0) $

ho il risultato e so che $ (delf)/(delx)(0,0) $ e $ (delf)/(delv)(0,0) $ non esistono e che $ (delf)/(dely)(0,0)=0 $

non capisco però il perchè? come faccio a stabilire se la derivata esiste?


grazie

[essenza89]

beh per stabilire che esistono puoi vedere se la funzione è differenziabile in (0,0)
oppure puoi verificare l'esistenza verificando direttamente la definizione di derivata parziale e direzionale (il limite per (x,y)->(0,0) etc), in questo caso se esistessero te le saresti già anche calcolate, altrimenti nel momento in cui hai verificato che la funzione è differenziabile in (0,0) puoi usare la formula del gradiente per calcolarti la derivata direzionale:
$ $

[dark.hero]

grazie per l'aiuto.
Come faccio a stabilire se è differenziabile in (0,0)? io so che una funzione è differenziabile se esiste una applicazione lineare etc etc... ma in pratica come faccio?

[essenza89]

eh, anche io mi sto scervellando per capire esattamente come di fa a capire che una funzione è differenziabile (anche io ho analisi II tra poco)
cmq questa discussione è già stata fatta in:
https://www.matematicamente.it/forum/dif ... 42952.html
e qui (per condizione suff diff) https://www.matematicamente.it/forum/teo ... 43427.html

[Alexp1]

Ma se non sbaglio, mi sa che c'è un po' di confusione.....l'esistenze delle derivate parziali e delle derivate direzionali, sono scollegate dal fatto che la funzione sia o no differenziabile, infatti una funzione può, in un punto, essere tranquillamente derivabile lungo ogni direzione, ma non differenziabile.

Qui calcoli le derivate (sia parziali che direzionali) come rapporti incrementali e verifichi se ammettono valore.

[essenza89]

"Alexp":Ma se non sbaglio, mi sa che c'è un po' di confusione.....l'esistenze delle derivate parziali e delle derivate direzionali, sono scollegate dal fatto che la funzione sia o no differenziabile, infatti una funzione può, in un punto, essere tranquillamente derivabile lungo ogni direzione, ma non differenziabile.

Qui calcoli le derivate (sia parziali che direzionali) come rapporti incrementali e verifichi se ammettono valore.

sì, però se una funzione è differenziabile in un punto, allora automaticamente esistono tutte le derivate parziali e direzionali in quel punto, forse mi sono espressa male:
1) verificare se funzione è differenziabile in (0,0) (vedi link postati sopra); se sì tutte le derivate parziali e direzionali esistono e le derivate direzionali lungo v si possono calcolare con la formula del gradiente
2) se la funzione NON è differenziabile in un punto, NON è DETTO che non esistano le sue derivate direzionali e parziali, come NON è detto che non ci siano, si è punto a capo insomma, allora a questo punto si può verificare la eistenza/non esistenza attraverso la definizione di derivata

[dark.hero]

tramite la definizione di derivata trovo che $ (delf)/(delx)(0,0) $ non esiste, e che $ (delf)/(dely)(0,0) $ vale 0.

domanda: dato che $ (delf)/(delx)(0,0) $ non esiste, posso concludere che $ (delf)/(delv)(0,0) $ non esiste?
o devo precedere in altro modo?


grazie

[enr87]

no, perchè per trovarti la derivata direzionale non è necessaria la formula del gradiente