Esistenza Derivata
Salve a tutti mi sorge un dubbio riguardo la definizione di esistenza della derivata nel punto. Mi è sempre stato detto che perchè una funzione sia derivabile è necessario che in quel punto derivata destra e sinistra coincidano.
Secondo questa definizione la seguente funzione definita a tratti è derivabile? :
$f(x)= x $ , per $ x in RR \\ 1 $ e
$f(x)=1 $ , per x $ x in 1 $
il lim dx e sx della derivata sono uguali a $1$ ma nel punto $1$ il valore della derivata e $0$.
Allora mi chiedo è sufficiente che lim dx e sx della derivata siano uguali o è anche necessario che il valore della derivata nel punto coincida con il lim dx e sx della stessa?
Grazie in anticipo.
Secondo questa definizione la seguente funzione definita a tratti è derivabile? :
$f(x)= x $ , per $ x in RR \\ 1 $ e
$f(x)=1 $ , per x $ x in 1 $
il lim dx e sx della derivata sono uguali a $1$ ma nel punto $1$ il valore della derivata e $0$.
Allora mi chiedo è sufficiente che lim dx e sx della derivata siano uguali o è anche necessario che il valore della derivata nel punto coincida con il lim dx e sx della stessa?
Grazie in anticipo.
Risposte
credo che nei casi come questo la derivata esista però la funzione non è di classe $C^1$ perchè la derivata non è continua
@gianni: e perché, di grazia, il valore della derivata in $1$ sarebbe $0$?
@walter: dici che non è continua? A me invece sembra di sì. Oppure non ho capito come è definita sta funzione!
@walter: dici che non è continua? A me invece sembra di sì. Oppure non ho capito come è definita sta funzione!
Mi sembra di capire che la funzione è definita come
$f(x)={(x, x in RR \\ {1}),(1, x=1):}$
Se è così valore della derivata in x = 1 direi che è
$f'(1)= lim_(x->1) (f(x)-1)/(x-1)=(x-1)/(x-1)=1=f'(1^-)=f'(1^+)$. È vero che se su un intervallo una funzione è costante, ha derivata nulla su quell'intervallo, ma qui abbiamo un valore per una x che non è costante per nessun intorno di quella x.
Che la funzione è continua in x = 1, come su tutto $RR$, è chiaro dal fatto che $lim_(x->1)f(x)=lim_(x->1)x=1=f(1)$.
Dopotutto i valori che assume la funzione -se ho capito com'è definita- sono gli stessi di $f(x)=x$ per ogni x.
Ciao!
$f(x)={(x, x in RR \\ {1}),(1, x=1):}$
Se è così valore della derivata in x = 1 direi che è
$f'(1)= lim_(x->1) (f(x)-1)/(x-1)=(x-1)/(x-1)=1=f'(1^-)=f'(1^+)$. È vero che se su un intervallo una funzione è costante, ha derivata nulla su quell'intervallo, ma qui abbiamo un valore per una x che non è costante per nessun intorno di quella x.
Che la funzione è continua in x = 1, come su tutto $RR$, è chiaro dal fatto che $lim_(x->1)f(x)=lim_(x->1)x=1=f(1)$.
Dopotutto i valori che assume la funzione -se ho capito com'è definita- sono gli stessi di $f(x)=x$ per ogni x.
Ciao!
"DavideGenova":
Mi sembra di capire che la funzione è definita come
$f(x)={(x, x in RR \\ {1}),(1, x=1):}$
Se è così valore della derivata in x = 1 direi che è
$f'(1)= lim_(x->1) (f(x)-1)/(x-1)=(x-1)/(x-1)=1=f'(1^-)=f'(1^+)$.
Che la funzione è continua in x = 1, come su tutto $RR$, è chiaro dal fatto che $lim_(x->1)f(x)=lim_(x->1)x=1=f(1)$.
Dopotutto i valori che assume la funzione -se ho capito com'è definita- sono gli stessi di $f(x)=x$ per ogni x.
Ciao!
Appunto. Quindi è possibile che ci sia qualcosa che non torni nella definizione iniziale. Magari era $f(x)=0$ per $x=1$ (o cose simili)? In qual caso la funzione non è continua... per cui, anche trovando limiti dei rapporti incrementali destri e sinistri uguali, la funzione non può essere derivabile (ricorda che "derivabile implica continua" ha come equivalente "non continua implica non derivabile").
"gianni.erario":
Allora mi chiedo è sufficiente che lim dx e sx della derivata siano uguali o è anche necessario che il valore della derivata nel punto coincida con il lim dx e sx della stessa?
Volevo aggiungere una cosa perché vale la pena soffermarsi su questa domanda di Gianni.
Innanzi tutto, essendo le derivate destra e sinistra in $x_0$ definite rispettivamente $f'(x_0^+)=lim_(h->0^+)(f(x_0+h)-f(x_0))/h$ e $f'(x_0^-)=lim_(h->0^-)(f(x_0+h)-f(x_0))/h$ è banale che $f'(x_0)=lim_(h->0)(f(x_0+h)-f(x_0))/h$ esiste (finita) se e solo se $f'(x_0^-)$ e $f'(x_0^+)$ esistono e sono uguali (e finiti), ed è $f(x_0)=f(x_0^-)=f(x_0^+)$ (un limite in un certo punto esiste se e solo se i limiti destro e sinistro esistono e coincidono, e in tal caso è uguale ai due limiti destro e sinistro).
Si può poi dimostrare che se esiste un limite da destra (o da sinistra) $lim_(x->x_0^+) f'(x)$ in un certo punto $x_0$ della funzione derivata in quel punto, esso coincide con la derivata destra (leggasi sinistra nel caso del limite da sinistra) e, se i due limiti destro e sinistro coincidono, coincidono anche con la derivata in quel punto $x_0$. Però possono esistere derivata destra e sinistra in $x_0$ anche se non esistono i limiti $lim_(x->x_0^(+-)) f'(x)$, per esempio
$f(x)={(x^2sin(1/x),x!=0),(0,x=0):}$ ha per derivata
$f'(x)={(-cos(1/x)+2xsin(1/x),x!=0),(0,x=0):}$
dove si ha che, mentre $f'(0)=lim_(x->0)(x^2sin(1/x)-0)/(x-0)=0=f'(0^+)=f'(0^-)$, i limiti $lim_(x->0^(+-)) -cos(1/x)+2xsin(1/x)$ non esistono.
Spero di essermi spiegato non troppo male e spero che mi correggeranno se ho scritto delle scemenze...
Ciao!
Dunque se ho ben capito la mia domanda non ha proprio senso di esistere per il semplice fatto che nel momento in cui una funzione ha in un punto derivata destra e sinistra uguali, e in quel punto la funzione è continua è automatico il fatto che il valore della derivata in quel punto coincida con der dx e sx ?
E nell'esempio da me citato è un errore considerare il punto $1$ come appartentente a una funzione costante. Di conseguenza la der nel punto $1$ non può essere stabilita a priori ma inserita nel "contesto" della $f(x)$ entro la quale tale punto è inserito (nel mio es. $f(x)=x$) ?
E nell'esempio da me citato è un errore considerare il punto $1$ come appartentente a una funzione costante. Di conseguenza la der nel punto $1$ non può essere stabilita a priori ma inserita nel "contesto" della $f(x)$ entro la quale tale punto è inserito (nel mio es. $f(x)=x$) ?
Esatto!
ok grazie 
"DavideGenova":
Si può poi dimostrare che se esiste un limite da destra (o da sinistra) $lim_(x->x_0^+) f'(x)$ in un certo punto $x_0$ della funzione derivata in quel punto, esso coincide con la derivata destra (leggasi sinistra nel caso del limite da sinistra) e, se i due limiti destro e sinistro coincidono, coincidono anche con la derivata in quel punto $x_0$.
Volevo chiedere conferma di una cosa ai lettori del forum: questo vale anche se $lim_(x->x_0^(+-)) f'(x)=+-oo$, giusto?
Il mio testo di analisi si riferisce a limiti $lim_(x->x_0^(+-)) f'(x)$ finiti, ma direi che questi, se esistono, coincidono* con il limite del rapporto incrementale rispettivamente destro e sinistro anche se infiniti, no?
Grazie di cuore a tutti!!!
*Lo desumo dalla dimostrazione basata sul teorema di Lagrange che riporta il mio testo.
Il problema quando i limiti vanno ad infinito rientra nelle casistiche dei punti di non derivabilità di tipo cuspide o flesso a tangente verticale, e di solito non vanno trattati come i casi di derivabilità o di non derivabilità per punti angolosi (in cui i limiti, pur essendo finiti, sono diversi)
Grazie Ciampax!!! Certo, certo, ma, anche proprio per individuare flessi a tangente verticale e cuspidi, è corretto dire che anche se $lim_(x->x_0^(+-)) f'(x) = +-oo$ abbiamo comunque che, esistendo il limite destro o sinistro
$lim_(h->0^+) (f(x_0+h)-f(x_0))/(h) = lim_(x->x_0^+) f'(x)$ e $lim_(h->0^-) (f(x_0+h)-f(x_0))/(h) = lim_(x->x_0^-) f'(x)$ ?
Giusto?
(Mi rendo comunque conto che chiamarla derivata destra o sinistra infinita non è molto appropriato.)
Grazie $-> +oo$!!!
$lim_(h->0^+) (f(x_0+h)-f(x_0))/(h) = lim_(x->x_0^+) f'(x)$ e $lim_(h->0^-) (f(x_0+h)-f(x_0))/(h) = lim_(x->x_0^-) f'(x)$ ?
Giusto?
(Mi rendo comunque conto che chiamarla derivata destra o sinistra infinita non è molto appropriato.)
Grazie $-> +oo$!!!
Guarda, non vorrei sbagliare, ma a me pare di ricordare che le ipotesi del teorema siano che il punto $x_0$ sia di derivabilità della funzione, per poter scrivere quanto affermi. Se il limite della derivata (o del rapporto incrementale) sono infinit, non puoi proprio neanche pensarci (anche se col senno del poi sembra che le cose funzionino).
Grazie, Ciampax!!! Il mio testo dimostra l'equivalenza per $lim_(h->0^(+-)) f(x) in RR$, ma non sono sicurissimo che non sia applicabile per limiti infiniti, a meno che tenga il mio seguente tentativo di dimostrazione...
Scelto un h sufficientemente piccolo da soddisfare le ipotesi del teorema di Lagrange che $f(x)$ sia continua in $[x_0,x_0+h]$ (utilizzo h > 0 per trattare il limite destro e direi che, nel caso che questa dimostrazione sia valida, lo sarebbe anche per h < 0 nel caso del limite sinistro) e derivabile in $(x_0,x_0+h)$ (notiamo che $x_0 notin (x_0,x_0+h)$) direi che: $EE \xi in (x_0,x_0+h) : (f(x_0+h)-f(x_0))/h = f'(\xi)$
Ora, dato che $\xi in (x_0,x_0+h)$, direi che $h -> 0^+$ forza $\xi->x_0^+$, per cui
$f'(x_0^+)=lim_(h->0^+) (f(x_0+h)-f(x_0))/h = lim_(\xi->x_0^+) f'(\xi)$
da cui mi pare che segua la tesi immediatamente indipendentemente dalla natura finita o infinita del limite.
Mi sbaglio?
Grazie infinite di nuovo!!!
Scelto un h sufficientemente piccolo da soddisfare le ipotesi del teorema di Lagrange che $f(x)$ sia continua in $[x_0,x_0+h]$ (utilizzo h > 0 per trattare il limite destro e direi che, nel caso che questa dimostrazione sia valida, lo sarebbe anche per h < 0 nel caso del limite sinistro) e derivabile in $(x_0,x_0+h)$ (notiamo che $x_0 notin (x_0,x_0+h)$) direi che: $EE \xi in (x_0,x_0+h) : (f(x_0+h)-f(x_0))/h = f'(\xi)$
Ora, dato che $\xi in (x_0,x_0+h)$, direi che $h -> 0^+$ forza $\xi->x_0^+$, per cui
$f'(x_0^+)=lim_(h->0^+) (f(x_0+h)-f(x_0))/h = lim_(\xi->x_0^+) f'(\xi)$
da cui mi pare che segua la tesi immediatamente indipendentemente dalla natura finita o infinita del limite.
Mi sbaglio?
Grazie infinite di nuovo!!!
Posto, per chiunque sia interessato il link, a una pagina che fa riferimento all'identità del limite destro o sinistro della funzione derivata in $x_0$, quando esiste anche se infinito e $f$ è continua in $x_0$, e del rapporto incrementale: da l'Hôpital la derivazione è praticamente immediata.
Ciao a tutti!!!
Ciao a tutti!!!
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